Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \mathbb{R} dont une expression est de la forme ax^2 + bx + c , où a, b et c sont des réels tels que a \neq 0. Sa courbe représentative \mathcal { P } est appelée parabole.

La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 et b = c = 0 .

Le point « le plus haut » ( a \lt 0 ) ou « le plus bas » ( a \gt 0 ) est appelé sommet de la parabole \mathcal { P }.

Le sommet peut aussi être défini comme le point d'intersection entre la parabole et son axe de symétrie.

Voici la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb{R} par f(x) = ax^2 + bx + c. Déterminer l'expression de f .

• Déterminer le type de fonction à l'aide de la nature de la courbe (ici parabole) ou de l'énoncé.
• Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de trois points de la courbe.
• Écrire le système correspondant et le résoudre.

1. Toute fonction polynôme du second degré admet une expression dite forme canonique. Il existe deux réels \alpha et \beta tels que, pour tout réel x, f ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
2. Le sommet \text{S} de la parabole \mathcal { P } a pour coordonnées \text{S}(\alpha ; \beta).
3. La parabole \mathcal { P } admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = \alpha .
4. La fonction f définie sur \mathbb{R} par f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) est une fonction polynôme du second degré ; avec a, x_1 et x_2 des réels tels que a \neq 0. Cette expression est appelée forme factorisée.

Lorsque x_1 = x_2 , on obtient une forme factorisée de la forme f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) ^ { 2 }. Dans ce cas, la forme factorisée est aussi la forme canonique.

Voici la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb { R }. Sans résoudre de système, déterminer une expression de f .

Cas 1. On connaît les points \mathrm { S } ( - 1 \: ; - 8 ) et \mathrm { A } ( 0 \: ; - 6 ) \: : on utilise la forme canonique.
Donc \alpha = - 1 et \beta = - 8.
f a pour expression f(x) = a(x + 1)^2 - 8 .

Cas 2. On connaît les points \mathrm { D } ( - 3 \: ; 0 ) et \mathrm { C } ( 1 \: ; 0 ) \: : on utilise la forme factorisée.
Donc x _ { 1 } = - 3 et x _ { 2 } = 1.
f a pour expression f(x) = a(x + 3)(x - 1).
Pour finir, on utilise f(0) = -6 pour déterminer a = 2 .

Exercice

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• Choisir l'expression de f selon les critères suivants. Si on connaît les coordonnées :
• du sommet et d'un point de la courbe quelconque : forme canonique ;
• des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses et d'un autre point : forme factorisée ;
• du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées et de deux autres points : forme développée.
• Écrire et résoudre l'équation ou le système d'équations.