41
[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l'affirmation est fausse, la rectifier pour qu'elle soit vraie. 1. L'image de \sqrt { 6 } - 3 par la fonction valeur absolue est 3 - \sqrt { 6 }.

2. L'image de 5 par la fonction valeur absolue est -5 .

3. Si | x | \lt 3 , alors x \in ] - 3 \: ; 3 [.

4. Pour tout réel x , on a : \sqrt { x ^ { 2 } } = x.

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42
[Calculer.]

Résoudre les inéquations suivantes.

1. | x | \lt 2

2. 3 \leqslant | x | \leqslant 4

3. | x - 3 | \leqslant 5

4. | x + 4 | > 5

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Algo

[Calculer.]

On considère un réel k quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d'obtenir les solutions éventuelles de l'équation | x | = k :

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {Définir Solution } (k) \text { : } } \\ \quad \text {Si } k \lt 0 \text { alors : } \\ \quad \quad\text{Retourner « … solution » } \\ \quad \text {Sinon } \\ \quad \quad \text {Si ... alors : } \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } 0 \\ \quad \quad \text {Sinon } m \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } m \text { et } n\\ \quad \quad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Si} \\ \end{array} }

1. Recopier et compléter l'algorithme.

2. a. Programmer cet algorithme à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur.

b. Tester l'algorithme avec : k = 4 , k = 0 et k = -3 .

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Démo

[Raisonner.]
Soit a \geqslant 0. On se propose de trouver une condition nécessaire et suffisante sur le réel x pour que | x | \leqslant a \:\: ( \mathrm { I } ). 1. Résoudre l'inéquation ( \mathrm { I } ) sur [ 0 \: ; + \infty [.

2. Résoudre l'inéquation ( \mathrm { I } ) sur ] - \infty \: ; 0 ].

3. Conclure.

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45
[Représenter.]
1. À partir de la représentation de la fonction valeur absolue faite à la calculatrice, résoudre :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. | x | = 2

b. | x | \lt 2

c.| x | \gt 2

2. En déduire alors la résolution de l'inéquation | x + 4 | \geqslant 2.

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46
[Raisonner.]

x est un réel tel que 2 \lt x \leqslant 5. Déterminer un encadrement des expressions suivantes. 1. | x |

2. 3 | x |

3. | x | - 1

4. 4 | x |+2

5. 1-5 | x |

6. 4-| x -2|

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47
[Raisonner.]
Reprendre l'exercice précédent pour x vérifiant les conditions suivantes. 1. - 4 \leqslant x \leqslant - 3

2. - 5 \lt x \leqslant 3

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48
[Calculer.]

Dans chaque cas, donner un encadrement de | x |. On pourra éventuellement se référer à la courbe représentative de la fonction valeur absolue. 1. - 3 \leqslant x \lt - 2

2. 5 \leqslant x \leqslant 7

3. - \pi \lt x \lt 2 \pi

4. - 3 \lt x \leqslant 2

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Démo

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }. 1. Justifier que f est définie sur \mathcal { D } _ { f } = \mathbb { R }.

2. Déterminer l'image par f de quatre nombres réels appartenant à l'intervalle [ - 10 ; 10 ] en prenant soin de ne pas choisir que des nombres de même signe.

3. Que peut-on conjecturer ? Démontrer cette conjecture.

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50
[Raisonner.]

Le but de l'exercice est d'établir un lien entre | x | \times | y | et | x y |, pour tous réels x et y. 1. a. Choisir deux réels x et y quelconques.

b. Calculer | x | \times | y | et | x y |.

c. Reproduire l'opération plusieurs fois pour établir une conjecture.

2. x et y sont maintenant des réels quelconques. Montrer la conjecture dans les quatre cas suivants.
a. x = 0 ou y = 0

b. x \lt 0 et y \lt 0

c. x \lt 0 et y \gt 0

d. x \gt 0 et y \gt 0

3. Conclure.

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