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Ch. 12
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Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
TP / TICE 1
Approcher l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles
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Énoncé
f est définie sur [ 0 \: ; 1 ] par f(x) = x^2. On note \mathcal { P } sa représentation graphique. \mathcal { D } est l'aire du domaine hachuré en rouge.
On subdivise l'intervalle [ 0 \: ; 1 ] en n intervalles de la forme \left[ \dfrac { k } { n } \: ; \dfrac { k + 1 } { n } \right],
où n et k sont des entiers tels que 1 \leqslant n \leqslant 20 et 0 \leqslant k \leqslant n - 1.
On note \text{A}_{k} l'aire de chaque rectangle bleu de la figure.
\mathcal { P } coupe chaque rectangle au milieu de la largeur. On note \mathrm { I } = \mathrm { A } _ { 0 } + \mathrm { A } _ { 1 } + \ldots + \mathrm { A } _ { n - 1 }.
La méthode des rectangles montre que \text{I} est une valeur approchée de \mathcal { D }.
On note \text{A}_{k} l'aire de chaque rectangle bleu de la figure.
\mathcal { P } coupe chaque rectangle au milieu de la largeur. On note \mathrm { I } = \mathrm { A } _ { 0 } + \mathrm { A } _ { 1 } + \ldots + \mathrm { A } _ { n - 1 }.
La méthode des rectangles montre que \text{I} est une valeur approchée de \mathcal { D }.
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Question préliminaire
En utilisant le graphique, exprimer \text{A}_{k} en fonction de k .
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Objectif
On souhaite approcher \mathcal { D } en calculant \text{I} à l'aide d'une des trois méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
Avec GeoGebra, tracer la courbe \mathcal { P } en utilisant la
saisie : f(x) = \text{Si} (0 \lt x \lt 1, x ^ 2).
1. a. Faire une construction pour n = 3 .
b. Déterminer une valeur approchée de \mathcal{D} .
2. On souhaite désormais obtenir un encadrement plus précis de \mathcal{D} en faisant varier la valeur de n .
a. Créer un curseur n variant de 0 à 20 avec un pas de 1.
b. Définir le nombre \text{I} par : \text{I}=\text{SommeRectangles}(x^2 , 0 ,1, n,1/2).
c. En déduire une valeur approchée de \mathcal{D} pour n = 20 .
2. On souhaite désormais obtenir un encadrement plus précis de \mathcal{D} en faisant varier la valeur de n .
a. Créer un curseur n variant de 0 à 20 avec un pas de 1.
b. Définir le nombre \text{I} par : \text{I}=\text{SommeRectangles}(x^2 , 0 ,1, n,1/2).
GeoGebra
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Méthode 2Python
n est un entier naturel non nul. On considère l'algorithme suivant :
\boxed{
\begin{array} { l } { \text { Fonction Aire} (n) \text { : } } \\
\quad \text { I } \leftarrow \dfrac { 1 } { n } \times \left( \dfrac { 1 } { 2 n } \right) ^ { 2 } \\
\quad \quad \text { Pour } k \text { allant de ... à ... } \\
\quad \quad \quad \text {I} \leftarrow \text {...} \\
\quad \quad \text {Fin Pour} \\
\quad \text {Retourner I}\\
\text {Fin Fonction} \\
\end{array}
}
1. Exprimer \text{A}_{0} en fonction de n .
2. Expliquer la ligne 2 de cet algorithme.
3. Compléter cet algorithme afin d'obtenir \text{I} pour un entier naturel n donné.
4. Programmer et tester cet algorithme avec Python et en déduire une valeur approchée de \mathcal{D} pour n = 20 .
2. Expliquer la ligne 2 de cet algorithme.
3. Compléter cet algorithme afin d'obtenir \text{I} pour un entier naturel n donné.
4. Programmer et tester cet algorithme avec Python et en déduire une valeur approchée de \mathcal{D} pour n = 20 .
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Méthode 3Tableur
Ouvrir une feuille de calcul et recopier la feuille suivante.
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1. a. Calculer \text{A}_{0} pour n = 6 .
b. Comment calculer la valeur obtenue en B4.
c. Quelle formule faut-il écrire en B5 pour obtenir \text{A}_{1} ?
d. Jusqu'à quelle ligne doit-on étirer la formule pour obtenir toutes les valeurs de \text{A}_{k} pour n = 6 ?
Aide : On pensera à utiliser les symboles \$ si nécessaire.
2. a. En C5, on a saisi = \text{C}4 + \text{B}5. Expliquer la formule.
b. En déduire une valeur approchée de \mathcal {D}.
b. Comment calculer la valeur obtenue en B4.
c. Quelle formule faut-il écrire en B5 pour obtenir \text{A}_{1} ?
d. Jusqu'à quelle ligne doit-on étirer la formule pour obtenir toutes les valeurs de \text{A}_{k} pour n = 6 ?
Aide : On pensera à utiliser les symboles \$ si nécessaire.
2. a. En C5, on a saisi = \text{C}4 + \text{B}5. Expliquer la formule.
b. En déduire une valeur approchée de \mathcal {D}.
3. Modifier la feuille de calcul pour obtenir une valeur approchée de \mathcal {D} pour n = 20 .
GeoGebra
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