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Équations et inéquations du second degré
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Ch. 4
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Applications de la dérivation
Ch. 6
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Produit scalaire
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Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
Entraînement 3
Étude des fonctions polynômes du second degré
17 professeurs ont participé à cette page
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64
[Chercher.] Pour chaque cas, donner un encadrement de x^2 , ou une inégalité vérifiée par x^2 .
1. - 2 \lt x \leqslant 7
2. 4 \leqslant x \lt 7
3. x \gt - 3
2. 4 \leqslant x \lt 7
3. x \gt - 3
4. x \lt - 2
5. - 6 \leqslant x \lt 3
6. - 11 \lt x \leqslant - 2
5. - 6 \leqslant x \lt 3
6. - 11 \lt x \leqslant - 2
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[Raisonner.] x est un réel tel que - 4 \lt x \leqslant 3. Déterminer un encadrement de :
1. ( x + 5 ) ^ { 2 } - 1
2. - 3 ( x - 4 ) ^ { 2 } + 6
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[Chercher.]
Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes.
1. ( x - 3 ) ^ { 2 } \leqslant 36
2. 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 8 \leqslant 4
2. 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 8 \leqslant 4
3. 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 \geqslant 10
4. - 5 ( x - 2 ) ^ { 2 } \geqslant 10
4. - 5 ( x - 2 ) ^ { 2 } \geqslant 10
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[Chercher.] f est une fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax^2 + bx + c . On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On donne les informations suivantes :
- Le point de C_f d'abscisse 0 a pour ordonnée -2 .
- f est d'abord croissante puis décroissante.
- Les antécédents de -2 par f sont 0 et 5.
Proposer deux expressions possibles de f en fonction de x .
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68
DÉMO
[Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 3.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ] puis de dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }. 1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels a et b tels que : a \lt b \leqslant
Alors : a^2
5a^2
5a^2 - 3
f(a)
Donc, la fonction f est
2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.
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69
[Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f(x) = -4x^2 + 1 . 1. Démontrer que f est croissante sur ] - \infty \: ; 0 ].
2. Dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }.
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70
DÉMO
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 4 ( x + 2 ) ^ { 2 } - 3.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; -2 ] puis de dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }. 1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels a et b tels que : a \lt b \leqslant
Alors : a + 2
( a + 2 ) ^ { 2 }
4 ( a + 2 ) ^ { 2 }
4 ( a + 2 ) ^ { 2 }-3
f(a)
Donc, la fonction f est
2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.
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71
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 ( x + 7 ) ^ { 2 } - 1 . C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan. 1. a. Démontrer que la fonction f est croissante sur ] - \infty \: ; - 7 ].
b. Dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }.
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2. Donner l'équation réduite de l'axe de symétrie de C_f et les coordonnées du sommet \text{S} de C_f.
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72
DÉMO
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 2 } + 5.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f admet un maximum sur \mathbb { R }.
Compléter la démonstration suivante :
« Pour tout réel x , on a :
( x + 3 ) ^ { 2 }
-( x + 3 ) ^ { 2 }
-( x + 3 ) ^ { 2 }+5
f(x)
De plus : f (
Donc, la fonction f admet
Il est atteint pour x =
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73
[Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par {f ( x ) = 6 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7.}
Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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74
[Raisonner.]
g est la fonction définie sur \mathbb { R } par {g ( x ) = - 3 ( x + 4 ) ^ { 2 } - 2.}
Déterminer l'extremum de g sur \mathbb { R }.
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75
DÉMO
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 3. C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. 1. Démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; 1 ].
2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.
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3. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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76
[Représenter.]
f est une fonction polynôme définie sur \mathbb { R } par f(x) = ax^2 + bx + c dont voici le tableau de signes.
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Dans chaque cas, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier chacune de vos réponses. Dans le cas où l'affirmation est fausse, la rectifier pour que celle-ci soit vraie.
1. f ( - 10 ) \lt 0
2. f ( - 9 ) \geqslant f ( 1 )
3. f(0) = 2
2. f ( - 9 ) \geqslant f ( 1 )
3. f(0) = 2
4. a \lt 0
5. L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 0 est \mathrm { S } = \{ - 8 \: ; 2 \}.
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) \lt 0 est \mathrm { S } = [ - 8 \: ; 2 ].
5. L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 0 est \mathrm { S } = \{ - 8 \: ; 2 \}.
6. L'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) \lt 0 est \mathrm { S } = [ - 8 \: ; 2 ].
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[Représenter.]
f est définie sur \mathbb { R } par : f ( x ) = 2 ( x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 2 ( x - 5 ) ( x - 1 ). \mathcal { P } est sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 1. Déterminer la forme développée de f .
2. Sans démonstration et en précisant la forme utilisée,
donner :
a. l'axe de symétrie et le sommet de \mathcal { P } ;
b. le signe de f .
a. l'axe de symétrie et le sommet de \mathcal { P } ;
b. le signe de f .
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78
[Représenter.] f est une fonction polynôme du second degré dont on a tracé la représentation graphique à l'aide de la calculatrice.
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1. Dresser le tableau de signe de f sur \mathbb { R }.
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2. Déterminer la forme factorisée de f.
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79
[Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré dont on donne les informations suivantes :
- l'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) \geqslant 0 est ] - \infty \: ; 1 ] \cup [ 2 \: ; + \infty [ \: ;
- l'image de 0 par f est 3.
Déterminer une expression de la fonction f en fonction de x .
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80
[Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré dont voici le tableau de signes.
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Proposer une expression de f en fonction de x .
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[Chercher.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 ( x - 2 ) ( x + 5 ) 1. Étudier le signe de f sur \mathbb { R }.
2. En déduire l'ensemble des solutions de :
a. f ( x ) = 0
b. f ( x ) \leqslant 0
c. f ( x ) \gt 0
a. f ( x ) = 0
b. f ( x ) \leqslant 0
c. f ( x ) \gt 0
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82
[Chercher.] Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes. 1. 5 ( x + 2 ) ( x - 6 ) \lt 0
2. - ( x - 5 ) ( x + 11 ) \geqslant 0
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83
[Chercher.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : {f ( x ) = 6 ( x - 3 ) ( x + 4 ).} C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan. 1. Déterminer les antécédents de 0 par f .
2. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de C_f situés au-dessus de l'axe des abscisses.
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84
[Raisonner.] On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } et g ( x ) = 6 x - 9.
1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions f et g , notées respectivement C_f et C_g .
GeoGebra
b. Conjecturer alors les coordonnées du ou des points
d'intersection des courbes C_f et C_g .
c. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g .
2. Démontrer de manière algébrique les deux conjectures émises.
c. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g .
2. Démontrer de manière algébrique les deux conjectures émises.
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85
[Raisonner.] On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } et g ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 5 x + 2.
1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions f et g , notées respectivement C_f et C_g .
b. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes C_f et C_g .
GeoGebra
b. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes C_f et C_g .
c. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g .
2. Justifier que pour tout réel x , on a : f ( x ) - g ( x ) = ( 3 x + 1 ) ( x - 2 ).
3. Démontrer les conjectures émises.
2. Justifier que pour tout réel x , on a : f ( x ) - g ( x ) = ( 3 x + 1 ) ( x - 2 ).
3. Démontrer les conjectures émises.
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86
DÉMO
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 ( x - 1 ) \left( x - \dfrac { 7 } { 3 } \right).
C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x , on a :
a. f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 10 x + 7
b. f ( x ) = 3 \left( x - \dfrac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { 3 }
a. f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 10 x + 7
b. f ( x ) = 3 \left( x - \dfrac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { 3 }
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :
a. f ( x ) \leqslant 0
b. f ( x ) \gt 7
c. f ( x ) \leqslant 6
a. f ( x ) \leqslant 0
b. f ( x ) \gt 7
c. f ( x ) \leqslant 6
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87
[Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - \left( x - \dfrac { 13 } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 } { 2 } \right).
C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.
À l'aide de l'outil calcul formel de GeoGebra, nous obtenons les résultats suivants.
C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.
À l'aide de l'outil calcul formel de GeoGebra, nous obtenons les résultats suivants.
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Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus
adaptée et effectuer la tâche demandée.
1. Calculer f(0).
2. Résoudre l'équation f(x) = 9 .
3. Dresser le tableau de signes de f .
2. Résoudre l'équation f(x) = 9 .
3. Dresser le tableau de signes de f .
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4. Résoudre l'inéquation f(x) \gt 0 .
5. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de C_f se situant en dessous de l'axe des abscisses.
5. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de C_f se situant en dessous de l'axe des abscisses.
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88
DÉMO
[Raisonner.] f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 ( x + 2 ) ^ { 2 } + 27. C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x , on a :
a. f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 12 x + 15 ;
b. f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 5 ).
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
a. Déterminer les antécédents de 0 par f .
b. Calculer f(-2) .
a. f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 12 x + 15 ;
b. f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 5 ).
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
a. Déterminer les antécédents de 0 par f .
b. Calculer f(-2) .
c. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
d. Résoudre l'équation f ( x ) = 15.
e. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de C_f avec l'axe des ordonnées.
d. Résoudre l'équation f ( x ) = 15.
e. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de C_f avec l'axe des ordonnées.
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89
[Chercher.]
Francis, entrepreneur, décide de fabriquer une gouttière dont la section a une forme parabolique.
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La fonction polynôme du second degré f qui servira à la conception est représentée ci-dessus. Pour lancer la fabrication, Francis doit déterminer une expression de la fonction f . Hélas, il a perdu la plupart de ses documents de préparation.
Il connaît seulement deux informations :
- L'ensemble des solutions de f ( x ) \leqslant 0 est un intervalle d'amplitude 10 ;
- Le sommet de la parabole représentant f est le point S ( - 3 \: ; - 5 ).
Aider Fabrice à retrouver une expression de f pour lancer la production.
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90
[Chercher.]
À l'aide de la calculatrice, on a tracé la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré g. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \left( - \dfrac { 1 } { 2 } \: ; - \dfrac { 25 } { 12 } \right).
De plus, la courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 \: ; - 2) .
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En le justifiant, déterminer les deux solutions de l'équation g(x) = 0 .
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Oups, une coquille
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