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Algèbre
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Fonctions de référence
Fonctions de référence
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Activitép. 44-45
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Coursp. 46-47
2. Fonctions polynômes du second degré
Coursp. 48-50
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Coursp. 51-53
L’essentiel Bac
L'essentielp. 54
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Auto-évaluationp. 55
Approcher l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles
TP / TICEp. 56
Approximation des racines par la méthode de Héron
TP / TICEp. 57
Les antennes paraboliques
Travailler autrementp. 58
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Applications directesp. 59
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Exercicesp. 60
1. Fonction valeur absolue
Exercicesp. 61
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Exercicesp. 62
3. Étude des fonctions polynômes du second degré
Exercicesp. 63-65
Synthèse - objectif BAC
Synthèsep. 66-69
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Fiches de révision - Exclusivité numérique
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
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Équations et inéquations du second degré
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Ch. 4
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Ch. 5
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Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
Entraînement 3

Étude des fonctions polynômes du second degré

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
39
 ;
42
 ;
46
 ;
56
;
63
;
64
;
78
;
81
et
84

Parcours 2 :exercices
40
;
48
;
59
;
65
;
67
;
70
;
72
;
82
;
87
et
91

Parcours 3 :exercices
60
;
71
;
75
;
85
;
86
et
88
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64
 [Chercher.]

Pour chaque cas, donner un encadrement de x^2 , ou une inégalité vérifiée par x^2 .
1. - 2 \lt x \leqslant 7

2. 4 \leqslant x \lt 7

3. x \gt - 3

4. x \lt - 2

5. - 6 \leqslant x \lt 3

6. - 11 \lt x \leqslant - 2
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65
 [Raisonner.]

x est un réel tel que - 4 \lt x \leqslant 3. Déterminer un encadrement de :
1. ( x + 5 ) ^ { 2 } - 1

2. - 3 ( x - 4 ) ^ { 2 } + 6
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66
 [Chercher.]
Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes.
1. ( x - 3 ) ^ { 2 } \leqslant 36

2. 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 8 \leqslant 4

3. 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 \geqslant 10

4. - 5 ( x - 2 ) ^ { 2 } \geqslant 10
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67
 [Chercher.]

f est une fonction polynôme du second degré définie par f(x) = ax^2 + bx + c . On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On donne les informations suivantes :
  • Le point de C_f d'abscisse 0 a pour ordonnée -2 .
  • f est d'abord croissante puis décroissante.
  • Les antécédents de -2 par f sont 0 et 5.

Proposer deux expressions possibles de f en fonction de x .
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68
DÉMO
 [Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 3.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ] puis de dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }. 1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels a et b tels que : a \lt b \leqslant

Alors : a^2
b^2 car

5a^2
5b^2
5a^2 - 3
5b^2 - 3
f(a)
f(b)
Donc, la fonction f est
sur
. »

2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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69
 [Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f(x) = -4x^2 + 1 . 1. Démontrer que f est croissante sur ] - \infty \: ; 0 ].
2. Dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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70
DÉMO
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 4 ( x + 2 ) ^ { 2 } - 3.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; -2 ] puis de dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }. 1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels a et b tels que : a \lt b \leqslant

Alors : a + 2
b + 2\leqslant

( a + 2 ) ^ { 2 }
( b + 2 ) ^ { 2 } car

4 ( a + 2 ) ^ { 2 }
4 ( b + 2 ) ^ { 2 }
4 ( a + 2 ) ^ { 2 }-3
4 ( b + 2 ) ^ { 2 }-3
f(a)
f(b)
Donc, la fonction f est
sur
. »

2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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71
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 ( x + 7 ) ^ { 2 } - 1 . C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan. 1. a. Démontrer que la fonction f est croissante sur ] - \infty \: ; - 7 ].

b. Dresser son tableau de variations sur \mathbb { R }.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin


2. Donner l'équation réduite de l'axe de symétrie de C_f et les coordonnées du sommet \text{S} de C_f.
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72
DÉMO
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 2 } + 5.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f admet un maximum sur \mathbb { R }.
Compléter la démonstration suivante :
« Pour tout réel x , on a :
( x + 3 ) ^ { 2 }
0
-( x + 3 ) ^ { 2 }
0
-( x + 3 ) ^ { 2 }+5

f(x)

De plus : f (
 ) =
.
Donc, la fonction f admet
pour
sur \mathbb { R }.
Il est atteint pour x =
.»
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73
 [Raisonner.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par {f ( x ) = 6 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7.}
Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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74
 [Raisonner.]
g est la fonction définie sur \mathbb { R } par {g ( x ) = - 3 ( x + 4 ) ^ { 2 } - 2.}
Déterminer l'extremum de g sur \mathbb { R }.
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75
DÉMO
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 3. C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. 1. Démontrer que f est décroissante sur ] - \infty \: ; 1 ].

2. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin


3. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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76
 [Représenter.]
f est une fonction polynôme définie sur \mathbb { R } par f(x) = ax^2 + bx + c dont voici le tableau de signes.

Placeholder pour Tableau: variations fonction polynôme second degré. Racines -8 et 2.Tableau: variations fonction polynôme second degré. Racines -8 et 2.

Dans chaque cas, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier chacune de vos réponses. Dans le cas où l'affirmation est fausse, la rectifier pour que celle-ci soit vraie.
1. f ( - 10 ) \lt 0

2. f ( - 9 ) \geqslant f ( 1 )

3. f(0) = 2

4. a \lt 0

5. L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 0 est \mathrm { S } = \{ - 8 \: ; 2 \}.

6. L'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) \lt 0 est \mathrm { S } = [ - 8 \: ; 2 ].
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77
 [Représenter.]
f est définie sur \mathbb { R } par : f ( x ) = 2 ( x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 2 ( x - 5 ) ( x - 1 ). \mathcal { P } est sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 1. Déterminer la forme développée de f .

2. Sans démonstration et en précisant la forme utilisée, donner :
a. l'axe de symétrie et le sommet de \mathcal { P } ;

b. le signe de f .
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78
 [Représenter.]

f est une fonction polynôme du second degré dont on a tracé la représentation graphique à l'aide de la calculatrice.

Placeholder pour Graphique montrant une fonction polynomiale du second degré représentée par une parabole rouge. Minimum en (0,-6).Graphique montrant une fonction polynomiale du second degré représentée par une parabole rouge. Minimum en (0,-6).
1. Dresser le tableau de signe de f sur \mathbb { R }.
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2. Déterminer la forme factorisée de f.
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79
 [Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré dont on donne les informations suivantes :
  • l'ensemble des solutions de l'inéquation f ( x ) \geqslant 0 est ] - \infty \: ; 1 ] \cup [ 2 \: ; + \infty [ \: ;
  • l'image de 0 par f est 3.

Déterminer une expression de la fonction f en fonction de x .
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80
 [Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré dont voici le tableau de signes.

Placeholder pour Tableau: étude du signe d'une fonction polynôme du second degré. Racines -2 et 7.Tableau: étude du signe d'une fonction polynôme du second degré. Racines -2 et 7.

Proposer une expression de f en fonction de x .
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81
 [Chercher.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 ( x - 2 ) ( x + 5 ) 1. Étudier le signe de f sur \mathbb { R }.
2. En déduire l'ensemble des solutions de :
a. f ( x ) = 0

b. f ( x ) \leqslant 0

c. f ( x ) \gt 0
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82
 [Chercher.]

Résoudre dans \mathbb { R } les inéquations suivantes. 1. 5 ( x + 2 ) ( x - 6 ) \lt 0

2. - ( x - 5 ) ( x + 11 ) \geqslant 0
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83
 [Chercher.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par : {f ( x ) = 6 ( x - 3 ) ( x + 4 ).} C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan. 1. Déterminer les antécédents de 0 par f .

2. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de C_f situés au-dessus de l'axe des abscisses.
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84
 [Raisonner.]

On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } et g ( x ) = 6 x - 9.
1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions f et g , notées respectivement C_f et C_g .
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

b. Conjecturer alors les coordonnées du ou des points d'intersection des courbes C_f et C_g .

c. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g .

2. Démontrer de manière algébrique les deux conjectures émises.
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85
 [Raisonner.]

On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } et g ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 5 x + 2.
1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions f et g , notées respectivement C_f et C_g .
Logo Geogebra

GeoGebra

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b. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes C_f et C_g .

c. Conjecturer la position relative des courbes C_f et C_g .

2. Justifier que pour tout réel x , on a : f ( x ) - g ( x ) = ( 3 x + 1 ) ( x - 2 ).

3. Démontrer les conjectures émises.
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86
DÉMO
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 ( x - 1 ) \left( x - \dfrac { 7 } { 3 } \right).
C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x , on a :
a. f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 10 x + 7

b. f ( x ) = 3 \left( x - \dfrac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { 3 }

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :
a. f ( x ) \leqslant 0

b. f ( x ) \gt 7

c. f ( x ) \leqslant 6
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87
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - \left( x - \dfrac { 13 } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 } { 2 } \right).
C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.
À l'aide de l'outil calcul formel de GeoGebra, nous obtenons les résultats suivants.

Placeholder pour Image d'exercices mathématiques : développement et forme canonique d'une fonction polynôme du second degré.Image d'exercices mathématiques : développement et forme canonique d'une fonction polynôme du second degré.

Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
1. Calculer f(0).

2. Résoudre l'équation f(x) = 9 .

3. Dresser le tableau de signes de f .
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4. Résoudre l'inéquation f(x) \gt 0 .

5. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de C_f se situant en dessous de l'axe des abscisses.
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88
DÉMO
 [Raisonner.]

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 ( x + 2 ) ^ { 2 } + 27. C_f est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x , on a :
a. f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 12 x + 15 ;

b. f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 5 ).

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
a. Déterminer les antécédents de 0 par f .

b. Calculer f(-2) .

c. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.

d. Résoudre l'équation f ( x ) = 15.

e. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de C_f avec l'axe des ordonnées.
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89
 [Chercher.]
Francis, entrepreneur, décide de fabriquer une gouttière dont la section a une forme parabolique.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence
Placeholder pour Photographie gouttière noire sur toit en construction, charpente bois apparente.Photographie gouttière noire sur toit en construction, charpente bois apparente.

La fonction polynôme du second degré f qui servira à la conception est représentée ci-dessus. Pour lancer la fabrication, Francis doit déterminer une expression de la fonction f . Hélas, il a perdu la plupart de ses documents de préparation.
Il connaît seulement deux informations :
  • L'ensemble des solutions de f ( x ) \leqslant 0 est un intervalle d'amplitude 10 ;
  • Le sommet de la parabole représentant f est le point S ( - 3 \: ; - 5 ).

Aider Fabrice à retrouver une expression de f pour lancer la production.
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90
 [Chercher.]
À l'aide de la calculatrice, on a tracé la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré g. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \left( - \dfrac { 1 } { 2 } \: ; - \dfrac { 25 } { 12 } \right).
De plus, la courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 \: ; - 2) .

Placeholder pour Graphique montrant une parabole rouge concave représentant une fonction polynôme du second degré.Graphique montrant une parabole rouge concave représentant une fonction polynôme du second degré.

En le justifiant, déterminer les deux solutions de l'équation g(x) = 0 .
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