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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 2
Entraînement 2
Fonctions polynômes du second degré
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51
Algo
[Calculer.]
On considère un réel k quelconque. On reprend l'algorithme de l'exercice 43, ci-dessous, afin d'obtenir les solutions éventuelles de l'équation x^2 = k avec k \in \mathbb { R }.
1. Recopier et compléter l'algorithme.
\boxed{
\begin{array} { l } { \text {Définir Solution } (k) \text { : } } \\
\quad \text {Si } k \lt 0 \text { alors : } \\
\quad \quad\text{Retourner « … solution » } \\
\quad \text {Sinon } \\
\quad \quad \text {Si ... alors : } \\
\quad \quad \quad \text {Retourner } 0 \\
\quad \quad \text {Sinon } m \leftarrow \text {...} \\
\quad \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\
\quad \quad \quad \text {Retourner } m \text { et } n\\
\quad \quad \text {Fin Si} \\
\quad \text {Fin Si} \\
\end{array}
}
1. Recopier et compléter l'algorithme.
2. a. Programmer cet algorithme à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur.
b. Tester l'algorithme avec : k = 4 , k = 0 et k = -3 .
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52
Algo
[Calculer.]
On considère l'algorithme suivant, où x désigne un réel.
1. Que contient la variable y à la fin de l'exécution de l'algorithme lorsque la variable x contient les valeurs suivantes avant l'exécution :
a. x = 1 \: ?
b. x = - 2 \: ?
c. x = \dfrac { 1 } { 3 } \: ?
2. Donner l'expression de la fonction f qui, à tout nombre réel x , associe le nombre y retourné en fin d'algorithme.
3. Quelle est la nature de cette fonction f \: ?
\boxed{
\begin{array} { l } { y \leftarrow x^2} \\
y \leftarrow 3 y + 5 x + 1 \\
\end{array}
}
1. Que contient la variable y à la fin de l'exécution de l'algorithme lorsque la variable x contient les valeurs suivantes avant l'exécution :
a. x = 1 \: ?
b. x = - 2 \: ?
c. x = \dfrac { 1 } { 3 } \: ?
2. Donner l'expression de la fonction f qui, à tout nombre réel x , associe le nombre y retourné en fin d'algorithme.
3. Quelle est la nature de cette fonction f \: ?
4. Recopier et compléter la traduction suivante de cet algorithme en langage Python.
def fonction_mystere(x): y = ... y = ... return y
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53
[Calculer.]
On définit la fonction carré f sur \mathbb { R } par f(x) = x^2.
1. Développer et simplifier ( \sqrt { 5 } - 7 ) ^ { 2 }.
2. En déduire les antécédents du nombre réel ( 54 - 14 \sqrt { 5 } ) par la fonction carré.
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54
[Raisonner.]
On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par
f(x) = x^2 et g(x) = 3x. On note respectivement C_f et
C_g les courbes représentatives des fonctions f et g
dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l'aide d'une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes C_f et C_g.
b. Conjecturer alors les coordonnées des points d'intersection
des courbes C_f et C_g.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
GeoGebra
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55
Tableur
[Représenter.]
Voici une feuille de calcul d'un tableur.
1. Quelles formules sont à saisir pour respecter les notations de la ligne 1 dans les cellules B2, C2 et D2 ?
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. On définit la fonction f sur [ - 5 \: ; 5 ] qui à x associe y .
a. Déterminer l'expression de f en fonction de x .
b. Quelle est la nature de cette fonction ?
a. Déterminer l'expression de f en fonction de x .
b. Quelle est la nature de cette fonction ?
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56
[Calculer.] f et g sont des fonctions définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2 et g ( x ) = - 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 8. Déterminer les éventuels antécédents de 0, de 6 et de 8 par f puis par g . On donnera les valeurs exactes.
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57
[Raisonner.]
On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = x ^ { 2 } et g ( x ) = 4 x - 4. On note respectivement C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l'aide d'une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes représentatives des fonctions f et g.
GeoGebra
b. Conjecturer alors les coordonnées des éventuels
points d'intersection des courbes C_f et C_g.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
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58
[Raisonner.]
On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - x et g ( x ) = \dfrac { 2 } { 3 } x. On note respectivement C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l'aide d'une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes représentatives des fonctions f et g, notées respectivement C_f et C_g.
GeoGebra
b. Conjecturer alors les coordonnées des éventuels
points d'intersection des courbes C_f et C_g.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.
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59
[Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré.
- On donne les informations suivantes :
- Les antécédents de 0 par f sont -2 et 3.
- L'image de 4 par f est -5 .
Déterminer une expression de f en fonction de x .
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60
[Calculer.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x - \sqrt { 7 }. On admet que l'équation f(x) = 0 a deux solutions, une positive \lambda et une négative \mu. L'objectif est de trouver un encadrement d'amplitude
0\text{,}001 de \lambda et \mu. À l'aide d'une calculatrice :
1. a. Tracer la représentation graphique de f .
GeoGebra
b. Déterminer deux entiers consécutifs encadrants \lambda.
2. a. Compléter le tableau de valeurs de f avec un pas de 0\text{,}1 sur l'intervalle formé par les deux entiers de la question précédente.
b. En déduire un encadrement d'amplitude 0\text{,}1 de \lambda.
c. Recommencer jusqu'à obtenir un encadrement d'amplitude 0\text{,}001.
3. Déterminer un encadrement d'amplitude 0\text{,}001 de \mu.
2. a. Compléter le tableau de valeurs de f avec un pas de 0\text{,}1 sur l'intervalle formé par les deux entiers de la question précédente.
| x | |||||||
| f(x) |
b. En déduire un encadrement d'amplitude 0\text{,}1 de \lambda.
c. Recommencer jusqu'à obtenir un encadrement d'amplitude 0\text{,}001.
3. Déterminer un encadrement d'amplitude 0\text{,}001 de \mu.
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61
[Chercher.]
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = \dfrac { 1 } { 7 } x ^ { 2 } - \sqrt { 5 } x + 3. On admet que l'équation f(x) = 0 admet deux solutions.
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10 ^ { - 3 } près de chacune d'elles.
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62
[Chercher.]
f est une fonction polynôme du second degré. Sans essayer de trouver l'expression de f , compléter le tableau de valeurs suivant.
| x | -5 | -1 | 2 | |
| f(x) | 66 | 18 | 4,56 | 3 |
| x | 4 | 4,6 | 7 | 11 |
| f(x) | 3 | 4,56 |
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63
[Chercher.]
Voici la courbe représentative \text{C}, dans un repère orthogonal, d'une fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb { R } par les expressions suivantes :
- f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c : forme développée ;
- f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) : forme factorisée ;
- f ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta : forme canonique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
a. Quel est le signe de a ?
b. Donner les valeurs de c , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \alpha et \beta.
2. En déduire la valeur de a .
a. Quel est le signe de a ?
b. Donner les valeurs de c , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \alpha et \beta.
2. En déduire la valeur de a .
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