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Le plan est muni d'un repère orthonormé. f est une fonction polynôme du second
degré : f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
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A
Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré
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Propriété
1. Si a \lt 0 , alors f est croissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] et décroissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.
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2. Si a \gt 0 , alors f est décroissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] et croissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.
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Remarque
Pour étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme
canonique.
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Remarque
On dit que la parabole est « tournée vers le haut » lorsque a \gt 0 et « tournée vers le bas » lorsque a \lt 0 .
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Démonstration
1. Soit a \lt 0. Sur l'intervalle ] - \infty \: ; \alpha ] : u et v sont deux réels tels que u \lt v \leqslant \alpha donc u - \alpha \lt v - \alpha \leqslant 0.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ]. a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \lt f ( v ). f est donc croissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] .
Sur l'intervalle [ \alpha \: ; + \infty [ \: : u et v sont deux réels tels que \alpha \leqslant u \lt v donc 0 \leqslant u - \alpha \lt v - \alpha.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est croissante sur [ 0 \: ; + \infty [. a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \gt f ( v ). f est donc décroissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.
2. On applique un raisonnement analogue lorsque a \gt 0 .
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Cas a \lt 0
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Cas a \gt 0
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Remarque
On peut aussi utiliser la symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation x = a .
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Application et méthode
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Énoncé
f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 - ( x + 2 ) ^ { 2 }. En détaillant les étapes, déterminer les variations de f sur ] - \infty \: ; - 2 ].
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Méthode
Repérer les valeurs de a,\alpha et \beta pour
connaître les variations de f sur \mathbb { R }.
Prendre deux réels u et v tels que u \lt v \leqslant \alpha.
Repérer les priorités de calcul, puis effectuer les calculs étape par étape.
Utiliser les variations de la fonction carré.
On pourra également utiliser les propriétés du cours pour résoudre cette question plus rapidement.
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Solution
a = - 1 \lt 0 ,\alpha = - 2 et \beta = 3.
Montrons que f est croissante sur ] - \infty \: ; - 2 ].
On considère deux réels u et v tels que u \lt v \leqslant - 2. u + 2 \lt v + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow ( u + 2 ) ^ { 2 } > ( v + 2 ) ^ { 2 } car la fonction carré est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ] \Leftrightarrow - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt - ( v + 2 ) ^ { 2 } car on multiplie par –1 \Leftrightarrow 3 - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt 3 - ( v + 2 ) ^ { 2 } \Leftrightarrow f ( u ) \lt f ( v ) f est bien croissante sur ] - \infty \: ; -2 ].
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B
Extremum d'une fonction polynôme du second degré
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Propriété
1. Si a \lt 0 , alors f admet pour maximum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha. 2. Si a \gt 0 , alors f admet pour minimum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.
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Cas a \lt 0
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Cas a \gt 0
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Remarque
On retrouve les coordonnées du sommet \text{S} ( \alpha \: ; \beta ) de la parabole \mathcal { P }.
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Démonstration
1. On considère le cas a \lt 0.
Pour tout réel x , on a : ( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0 donc a ( x - \alpha ) ^ { 2 } \leqslant 0 car a \lt 0 . D'où a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \leqslant \beta soit f ( x ) \leqslant \beta.
De plus : f ( \alpha ) = a ( \alpha - \alpha ) ^ { 2 } + \beta = \beta. \beta est donc un maximum de f sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.
2. On applique un raisonnement analogue lorsque a \gt 0 .
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Application et méthode
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Énoncé
f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }.
Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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Méthode
Repérer les valeurs de a ,\alpha et \beta pour connaître la nature et la valeur de l'extremum de f .
Écrire que, pour tout réel x ,( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0.
Repérer les priorités de calcul puis effectuer les calculs étape par étape.
Écrire f ( \alpha ) = \beta.
Conclure.
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Solution
Pour tout réel x , on a : ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0 \Leftrightarrow 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0 \Leftrightarrow - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant - 2 \Leftrightarrow f ( x ) \geqslant - 2.
De plus : f ( 1 ) = - 2 + 3 ( 1 - 1 ) ^ { 2 } = - 2. -2 est donc le minimum de f sur \mathbb { R }, atteint en x = 1 .
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C
Signe d'une fonction polynôme du second degré
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Méthode
Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme
factorisée puis on dresse un tableau de signes.
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Remarque
Le cas général (notamment lorsque f n'est pas factorisable) sera étudié dans le chapitre 3.
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Exemple
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 2 ).
Le tableau de signes de f est :
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Application et méthode
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Énoncé
f et g sont définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 et g ( x ) = 7 x + 17.
1. Démontrer que, pour tout réel x ,f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ). 2. Étudier la position relative des courbes représentatives C_f et C_g des fonctions f et g .
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Méthode
Déterminer l'expression de f - g puis développer la forme donnée.
Étudier le signe de la forme factorisée de f - g en utilisant un tableau de signes.
Conclure :
lorsque f - g est positive, C_f est au-dessus de C_g .
lorsque f - g est négative, C_f est en dessous de C_g .
lorsque f - g est nulle, C_f et C_g sont sécantes.
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Solution
1. Pour tout réel x , on a : \begin{aligned} f ( x ) - g ( x ) & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - ( 7 x + 17 ) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - 7 x - 17 \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}
\begin{aligned} \text{et } 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ) & = 3 \left( x ^ { 2 } + x - 4 x - 4 \right) \\ & = 3 \left( x ^ { 2 } - 3 x - 4 \right) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}
Donc, pour tout réel x ,f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).
2. On obtient :
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C_f est au-dessus de C_g sur ] - \infty \: ; - 1 ] et sur [ 4 \: ; + \infty [ et en dessous sur [ - 1 \: ; 4 ].C_f et C_g sont sécantes en -1 et 4.