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Cours 3

Étude des fonctions polynômes du second degré

11 professeurs ont participé à cette page
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Le plan est muni d'un repère orthonormé. f est une fonction polynôme du second degré : f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
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A
Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré

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Propriété
1. Si a \lt 0 , alors f est croissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] et décroissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.

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2. Si a \gt 0 , alors f est décroissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] et croissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.

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Remarque

Pour étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme canonique.
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Remarque

On dit que la parabole est « tournée vers le haut » lorsque a \gt 0 et « tournée vers le bas » lorsque a \lt 0 .
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Démonstration
1. Soit a \lt 0.
Sur l'intervalle ] - \infty \: ; \alpha ] :
u et v sont deux réels tels que u \lt v \leqslant \alpha donc u - \alpha \lt v - \alpha \leqslant 0.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ].
a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \lt f ( v ).
f est donc croissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] .

Sur l'intervalle [ \alpha \: ; + \infty [ \: :
u et v sont deux réels tels que \alpha \leqslant u \lt v donc 0 \leqslant u - \alpha \lt v - \alpha.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est croissante sur [ 0 \: ; + \infty [.
a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \gt f ( v ).
f est donc décroissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.

2. On applique un raisonnement analogue lorsque a \gt 0 .

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Cas a \lt 0

Étude des fonctions polynômes du second degré - Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références
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Cas a \gt 0
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Remarque

On peut aussi utiliser la symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation x = a .
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Application et méthode
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Énoncé
f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 - ( x + 2 ) ^ { 2 }. En détaillant les étapes, déterminer les variations de f sur ] - \infty \: ; - 2 ].
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Méthode

  • Repérer les valeurs de a, \alpha et \beta pour connaître les variations de f sur \mathbb { R }.
  • Prendre deux réels u et v tels que u \lt v \leqslant \alpha.
  • Repérer les priorités de calcul, puis effectuer les calculs étape par étape.
  • Utiliser les variations de la fonction carré.
On pourra également utiliser les propriétés du cours pour résoudre cette question plus rapidement.

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Solution
a = - 1 \lt 0 , \alpha = - 2 et \beta = 3.
Montrons que f est croissante sur ] - \infty \: ; - 2 ]. On considère deux réels u et v tels que u \lt v \leqslant - 2.
u + 2 \lt v + 2 \leqslant 0
\Leftrightarrow ( u + 2 ) ^ { 2 } > ( v + 2 ) ^ { 2 } car la fonction carré est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ]
\Leftrightarrow - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt - ( v + 2 ) ^ { 2 } car on multiplie par –1
\Leftrightarrow 3 - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt 3 - ( v + 2 ) ^ { 2 }
\Leftrightarrow f ( u ) \lt f ( v )
f est bien croissante sur ] - \infty \: ; -2 ].

Pour s'entraîner
Exercices p. 59 et p. 63
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B
Extremum d'une fonction polynôme du second degré

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Propriété
1. Si a \lt 0 , alors f admet pour maximum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.
2. Si a \gt 0 , alors f admet pour minimum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.
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Cas a \lt 0
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Cas a \gt 0
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Remarque

On retrouve les coordonnées du sommet \text{S} ( \alpha \: ; \beta ) de la parabole \mathcal { P }.
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Démonstration
1. On considère le cas a \lt 0.
Pour tout réel x , on a : ( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0 donc
a ( x - \alpha ) ^ { 2 } \leqslant 0 car a \lt 0 . D'où a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \leqslant \beta soit f ( x ) \leqslant \beta.
De plus : f ( \alpha ) = a ( \alpha - \alpha ) ^ { 2 } + \beta = \beta.
\beta est donc un maximum de f sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.

2. On applique un raisonnement analogue lorsque a \gt 0 .
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Application et méthode
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Énoncé
f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.
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Méthode

  • Repérer les valeurs de a , \alpha et \beta pour connaître la nature et la valeur de l'extremum de f .
  • Écrire que, pour tout réel x , ( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0.
  • Repérer les priorités de calcul puis effectuer les calculs étape par étape.
  • Écrire f ( \alpha ) = \beta.
  • Conclure.
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Solution


Pour tout réel x , on a :
( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0
\Leftrightarrow 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0
\Leftrightarrow - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant - 2
\Leftrightarrow f ( x ) \geqslant - 2.
De plus : f ( 1 ) = - 2 + 3 ( 1 - 1 ) ^ { 2 } = - 2.
-2 est donc le minimum de f sur \mathbb { R }, atteint en x = 1 .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 63
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C
Signe d'une fonction polynôme du second degré

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Méthode
Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme factorisée puis on dresse un tableau de signes.
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Remarque

Le cas général (notamment lorsque f n'est pas factorisable) sera étudié dans le chapitre 3.
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Exemple
f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 2 ).
Le tableau de signes de f est :

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Application et méthode
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Énoncé
f et g sont définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 et g ( x ) = 7 x + 17.

1. Démontrer que, pour tout réel x , f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).
2. Étudier la position relative des courbes représentatives C_f et C_g des fonctions f et g .
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Méthode

  • Déterminer l'expression de f - g puis développer la forme donnée.
  • Étudier le signe de la forme factorisée de f - g en utilisant un tableau de signes.
  • Conclure :
    • lorsque f - g est positive, C_f est au-dessus de C_g .
    • lorsque f - g est négative, C_f est en dessous de C_g .
    • lorsque f - g est nulle, C_f et C_g sont sécantes.


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Solution
1. Pour tout réel x , on a :
\begin{aligned} f ( x ) - g ( x ) & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - ( 7 x + 17 ) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - 7 x - 17 \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{et } 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ) & = 3 \left( x ^ { 2 } + x - 4 x - 4 \right) \\ & = 3 \left( x ^ { 2 } - 3 x - 4 \right) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}
Donc, pour tout réel x , f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).

2. On obtient :
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C_f est au-dessus de C_g sur ] - \infty \: ; - 1 ] et sur [ 4 \: ; + \infty [ et en dessous sur [ - 1 \: ; 4 ]. C_f et C_g sont sécantes en -1 et 4.

Pour s'entraîner
Exercices p. 59 et p. 64

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