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Chapitre 2
TP / TICE 2

Approximation des racines par la méthode de Héron

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Énoncé
On sait depuis la classe de seconde que le nombre \sqrt { m } est un nombre irrationnel pour certaines valeurs de m strictement positives. C'est le cas par exemple de \sqrt { 2 } ou \sqrt { 5 } . La méthode de Héron permet de calculer une valeur approchée de \sqrt { m } avec une précision assez élevée et en peu d'opérations.
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Objectif
Trouver une approximation de \sqrt { 2 } et de \sqrt { 5 } à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1
GeoGebra

D'après le mathématicien Héron d'Alexandrie, déterminer \sqrt { m } revient à tracer un carré d'aire égale à m. Étudions le cas m = 2 . Dans l'ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.
1. Lancer GeoGebra et placer les points \text{O} ( 0 \: ; 0 ) et \mathrm { A } _ { 1 } ( m \: ; 0 ). Tracer le rectangle \mathrm { O } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } d'aire m.

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2. a. Placer \text{A}_{2} d'ordonnée 0 et d'abscisse \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 1 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 1 } } } { 2 }.
b. Calculer la longueur \mathrm { A } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } pour que le rectangle \mathrm { OA } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } soit d'aire m. Quelles sont les coordonnées de \text{B}_{2} \: ?

3. a. Recommencer cette opération jusqu'à la construction de \text{B}_{4}.
On commencera par calculer l'abscisse de \text{A}_{3} \: : \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 2 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 2 } } } { 2 }

b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de \mathrm { B } _ { k } ?

c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.

4. a. En utilisant cette méthode, déterminer une valeur approchée de \sqrt { 5 }.

b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.

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Méthode 2
Python

Soit n un entier naturel non nul. On considère l'algorithme de Héron suivant.

Étape 1 : x _ { 0 } = m et x _ { 1 } = \dfrac { x _ { 0 } + \dfrac { m } { x _ { 0 } } } { 2 }

Étape 2 : x _ { 2 } = \dfrac { x _ { 1 } + \dfrac { m } { x _ { 1 } } } { 2 }

Étape 3 : x _ { 3 } = \dfrac { x _ { 2 } + \dfrac { m } { x _ { 2 } } } { 2 }
...
Étape n : x _ { n } = \dfrac { x _ { n - 1 } + \dfrac { m } { x _ { n - 1 } } } { 2 }
1. Compléter l'algorithme suivant afin d'obtenir l'affichage de x_ { n } pour n et m donnés.

\boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Heron}(m, n) \\ \quad \text {X } \leftarrow m \\ \quad \quad \text {Pour } k \text { allant de ... à ... } \\ \quad \quad \quad \text {X } \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \text {Fin Pour} \\ \quad \text {Retourner X} \\ \text {Fin Fonction} \end{array} }


2. a. Expliquer les lignes de cet algorithme.

b. Modifier cet algorithme pour que l'ensemble des valeurs x_{k} pour k allant de 1 à n soient affichées.

3. a. Programmer cet algorithme avec Python et le tester pour m = 2 et n = 4 .
b. Qu'observe-t-on sur les différentes valeurs affichées ?

c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.

4. a. En utilisant cet algorithme, déterminer une valeur approchée de \sqrt { 5 }.

b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.

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