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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 9
Activité
Produit scalaire
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AProjection orthogonale
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On considère une droite d du plan et un point \text{A} n'appartenant pas à cette droite. On rappelle que le projeté orthogonal du point \text{A} sur la droite d est le point \text{A}^ { \prime } appartenant à d tel que les droites d et \left( \mathrm { AA } ^ { \prime } \right) sont perpendiculaires.
a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets \text{B} et \text{D} sur la droite \text{(AC)} ainsi que les projetés orthogonaux des sommets \text{A} et \text{C} sur la droite \text{(BD).}
b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.
a) Construire l'ensemble des points \text{M} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{M} sur la droite \text{(AC)} soit le point \text{O.}
b) Construire l'ensemble des points \text{N} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{N} sur la droite \text{(BD)} soit le point \text{O.}
Dans chacun des cas suivants :
a) Les droites \text{(AB)} et d sont parallèles.
b) Les droites \text{(AB)} et d sont perpendiculaires.
c) Les droites \text{(AB)} et d ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points \text{A} et \text{B} relativement à la droite d .
1
On considère ci-dessous le quadrilatère \text{ABCD} de centre \text{O.}
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a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets \text{B} et \text{D} sur la droite \text{(AC)} ainsi que les projetés orthogonaux des sommets \text{A} et \text{C} sur la droite \text{(BD).}
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b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.
2
On considère maintenant des points distincts des quatre sommets du quadrilatère.
a) Construire l'ensemble des points \text{M} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{M} sur la droite \text{(AC)} soit le point \text{O.}
b) Construire l'ensemble des points \text{N} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{N} sur la droite \text{(BD)} soit le point \text{O.}
Aide
Si \text{O} est le projeté orthogonal de \text{M} sur la droite \text{(AC)}, quel lien existe-t-il entre les droites \text{(MO)} et \text{(AC)} ?
3
On change de configuration et on considère à présent une droite d et deux points distincts \text{A} et \text{B} n'appartenant pas à d. On note \mathrm { A } ^ { \prime } et \mathrm { B } ^ { \prime } les projetés orthogonaux respectifs des points \text{A} et \text{B} sur la droite d .
Le segment \left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] est alors le projeté orthogonal du segment \text{[AB]} sur la droite d .Dans chacun des cas suivants :
- faire une figure ;
- tracer le segment \left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] ;
- comparer les longueurs de \text{AB} et \text{A'B'.}
a) Les droites \text{(AB)} et d sont parallèles.
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b) Les droites \text{(AB)} et d sont perpendiculaires.
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c) Les droites \text{(AB)} et d ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points \text{A} et \text{B} relativement à la droite d .
Aide
On peut supposer que les points \text{A} et \text{B} sont du même côté de la droite d . Quelle est l'autre configuration possible ?
GeoGebra
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BilanDans la configuration de la question 3, pour quels cas a-t-on \text{AB} > \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } , \text{AB} \lt \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } et \text{AB} = \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } ?
Bilan
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BDéfaut d'orthogonalité
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1
Quelle est la valeur de \Delta si le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A} ?2
On suppose que l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle aigu.
Aide
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \text{AHC} et \text{CHB} puis modifier l'expression de \Delta .
b) En utilisant plusieurs fois le théorème de Pythagore dans des triangles bien choisis, démontrer que\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.
3
On suppose que l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle obtus.Démontrer que \Delta=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.
Aide
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \text{AHC} et \text{CHB} puis modifier l'expression de \Delta .
4
a) Prouver que, dans les deux cas, \Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).b) Pourquoi parle-t-on alors de « défaut d'orthogonalité » ?
Aide
Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle.
5
Justifier que \Delta=\dfrac{\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^2}{2}.6
On se place dans un repère orthonormé (\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) et on considère les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.Prouver, à l'aide de la formule précédente, que \Delta=x x^{\prime}+y y^{\prime}.
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Bilan Lister les quatre différentes expressions de \Delta obtenues. Indiquer quelles données (coordonnées, longueurs, angles) sont nécessaires pour appliquer chacune des formules.
Bilan
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CLes différentes propriétés du produit scalaire
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1
Montrer que, pour tout réel k, \vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}).
2
Montrer que \vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}.
3
Montrer que \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
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Bilan Quelle opération possède des propriétés analogues au produit scalaire ?
Bilan
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Objectif : Se familiariser avec la projection orthogonale de segments sur des droites, après avoir étudié la projection orthogonale de points sur une droite en seconde.
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Objectif : Déterminer les différentes expressions du produit scalaire au travers d'une interprétation géométrique.
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\text{ABC} est un triangle quelconque du plan. On note :
- \text{H} le projeté orthogonal du point \text{C} sur la droite \text{(AB)} ;
- \Delta le défaut d'orthogonalité du triangle \text{ABC} défini par \Delta=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}{2}.
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Objectif : L'objectif est de démontrer les différentes propriétés du produit scalaire en utilisant sa forme analytique.
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Dans un repère orthonormé (\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{x_{1}} \\ {y_{1}}\end{pmatrix}, \vec{v}\begin{pmatrix}{x_{2}} \\ {y_{2}}\end{pmatrix} et \vec{w}\begin{pmatrix}{x_{3}} \\ {y_{3}}\end{pmatrix}.
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.
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