Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

\text{ABCDEFGH} est un cube de 3 cm de côté. \text{IABCD} et \text{JEFGH} sont deux pyramides à base carrée de sommet respectif \text{I} et \text{J} tel que \text{I} \in (\text{AE}), \text{J} \in \text{(GC)} et \text{AI} = \text{GJ} = 1,5 cm.

Questions préliminaires :

1. Calculer la longueur \text{AC} .

2. Justifier que les points \text{I} et \text{J} sont dans le plan du quadrilatère \text{ACGE}.

3. Quelle est la nature du quadrilatère \text{EACG} ? Justifier.

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Partie 1

On se place dans le plan (\text{EIJ} ). On veut savoir si le quadrilatère \text{EICJ} est un quadrilatère particulier.

1. Calculer la longueur \text{CI} .

2. Calculer \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.

3. En déduire la nature du quadrilatère \text{EICJ}. Justifier.

4. Que peut-on dire du point \text{O}_1, intersection des droites (\text{IJ}) et (\text{EC}), par rapport aux quadrilatères \text{EICJ} et \text{EACG} ?

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Partie 2

On se place dans le plan (\text{HBJ}). On se demande si les droites (\text{HB}) et (\text{IJ}) sont perpendiculaires.

1. Justifier que le point \text{I} appartient bien au plan (\text{HBJ}).

2. En se plaçant dans le plan (\text{BCG}), calculer la longueur \text{JB} .

3. En se plaçant dans le plan (\text{ABF}), calculer la longueur \text{IB} .

4. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.

5. Conclure.

6. Que peut-on en déduire pour le point \text{O}_2, intersection des droites (\text{HB}) et (\text{IJ}) ?

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Partie 3

On se place dans le plan (\text{IDF}). On se demande si les droites (\text{DF}) et (\text{IJ}) sont perpendiculaires.

1. Justifier que le point \text{J} appartient bien au plan (\text{IDF}).

2. En se plaçant dans le plan (\text{DCG}), calculer la longueur \text{JD} .

3. En se plaçant dans le plan (\text{ADH}), calculer la longueur \text{DI}.

4. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.

5. Conclure.

6. Que peut-on en déduire pour le point \text{O}_3, intersection des droites (\text{DF}) et (\text{IJ}) ?

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Partie 4

On étudie un cas plus général : le cube \text{ABCDEFGH} est de côté c cm. On cherche à déterminer la longueur \text{AI} qui rendrait nul le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}. Rappel : \text{AI} = \text{GJ}. 1. Calculer la longueur \text{AC}.

2. Quelle doit être la longueur \text{AI} pour que le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}} soit nul ?

3. Conclure

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Mise en commun

1. Quelles sont les natures des quadrilatères \text{EICJ}, \text{JDIF} et \text{HIBJ} ?

2. Comment construire le quadrilatère \text{EICJ} à partir de \text{EACG} pour que le résultat précédent reste vrai ?

3. Que peut-on en déduire par rapport à la position des grandes diagonales du cube : \text{(EC)}, (\text{AG}), (\text{DF}), (\text{HB}) et de la droite (\text{IJ}) ?

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