L'angle formé par deux représentants de même origine des vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} se note (\vec{u}, \vec{v}).

Le produit scalaire du vecteur \vec{u} par lui-même, noté \vec{u}^2 ou \| \vec { u } \| ^ { 2 }, est un réel appelé carré scalaire de \vec{u} . Pour tout vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} on a \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\mathrm{AB}^{2}.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan. On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} le réel, noté \vec{u} \cdot \vec{v} , défini par : \vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times \| \vec{v} | \| \times \cos (\vec{u}, \vec{v}).

Si un des deux vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul également. Attention, la réciproque est fausse.

Cette propriété est utilisée pour les calculs de produit scalaire dans des configurations avec des angles droits.

Cette propriété permet de souligner deux configurations particulières lorsque \text{H} \in (\text{AB}) :

• Si \text{H} \in \text{[AB)}, alors \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB} \times \text{AH}.
• Si \mathrm{H} \notin[\mathrm{AB}), \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.

Dans un rectangle \text{ABCD} de centre \text{O}, en notant \text{E} le milieu de \text{[AB]} et \text{F} le milieu de \text{[CD]}, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{AB}^{2} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EA}}=-\mathrm{AE}^{2}.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix} dans un repère orthonormé. Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y'.

Avec ce théorème, on retrouve que \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.

Voir ex.

77

p. 249.

1. On utilise la formule trigonométrique : on doit donc calculer les longueurs et la mesure de l'angle qui nous intéressent.

2. On utilise la formule du projeté orthogonal : \text{B} est le projeté orthogonal de \text{I} sur la droite \text{(AE).}

3. On utilise la formule avec les coordonnées : pour cela, on choisit un repère orthonormé adapté à la situation.

Dans chaque cas, calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} dans le triangle \text{ABC}.

1. \mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}.

2. \mathrm{AB}=5 et \mathrm{AH}=4 où \mathrm{H} est le pied de la hauteur issue de \mathrm{C.} De plus, \mathrm{H} \in[\mathrm{AB}).

3. \mathrm{A}(-1\, ;-1), \mathrm{B}(4\, ;-1) et \mathrm{C}(3\, ; 3) dans un repère orthonormé.

On choisit la formule du produit scalaire la plus adaptée en analysant la configuration :
1. trigonométrique lorsque les angles de la configuration sont connus ;

2. le projeté orthogonal dans une configuration comprenant des angles droits ;

3. dans un repère lorsque des coordonnées sont connues ou calculables.