77
Démo
[Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}). On considère deux vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{array}\right) où x, y, x' et y' sont des réels quelconques.

1. a. Justifier que l'on peut écrire \vec{u}=x \vec{i}+y \vec{j}.

b. De la même façon, écrire une décomposition du vecteur \vec{v} en fonction de \vec{i} et \vec{j}.

2. a. Écrire \vec{u} \cdot \vec{v} en utilisant les décompositions de la question précédente.

b. Développer l'expression obtenue et, en utilisant les propriétés du produit scalaire, démontrer que \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

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78
Démo
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de démontrer la formule de Héron.
On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.

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Combiner la formule d'Al-Kashi et la loi des sinus : \dfrac{a b c}{2 \text{S}}=\dfrac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})} pour obtenir la formule de Héron : \mathrm{\text{S}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} où p est le demi-périmètre : p=\dfrac{a+b+c}{2}

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79
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le cube de l'espace \text{ABCDEFGH} de côté c .

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On note \text{O} le centre du cube. Le but de l'exercice est de montrer que l'angle \alpha est indépendant de la longueur c des arêtes du cube.

1. Calculer les longueurs \text{AC} et \text{AG.}

2. À partir de deux expressions différentes du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}, déterminer le cosinus de l'angle \alpha.

3. Conclure.

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Histoire des maths

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Héron d'Alexandrie (I^er siècle après J.C.) est un mathématicien, ingénieur et mécanicien grec. Un de ses ouvrages les plus célèbres est le Traité des pneumatiques dans lequel il décrit des automates utilisant de la vapeur et des machines hydrauliques. En mathématiques, il étudia, en géométrie, les formules d'aires dans le plan ainsi que les aires et les surfaces dans l'espace avec des applications concrètes pour ses travaux en mécanique.

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80
GeoGebra
[Chercher.]
On s'intéresse à un rectangle \text{ABCD} de mesures données. \text{E} est le milieu du segment \text{[AB]} et \text{F} l'intersection des droites (\mathrm{DE}) et (\mathrm{CA}).

1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les longueurs \text{AB} et \text{AD} afin que les droites (\mathrm{DE}) et (\mathrm{AC}) soient perpendiculaires.

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2. On suppose que le rectangle \text{ABCD} a les dimensions d'une feuille A3 de longueur 420 mm et de largeur 297 mm.
a. La condition précédente est-elle respectée ?

b. Tracer la figure à l'aide du logiciel GeoGebra.

c. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{DFA}} affichée par le logiciel ?

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81
[Chercher.]
On se place dans un repère orthonormé ({\mathrm{A}}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}). Les points \text{D,} \text{E} et \text{F} sont placés sur les segments [\mathrm{AB}], [\mathrm{BC}] et [\mathrm{CA}] tels que \text{AD =} \text{BE =} \text{CF =} k, avec k \in[0 ; 1]
1. Déterminer en fonction de k les coordonnées des différents points de la figure dans le repère (\mathrm{A}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).
En particulier, montrer que \text{E} a pour coordonnées \left(\dfrac{2-\sqrt{2} k}{2}\:; \dfrac{\sqrt{2} k}{2}\right)

2. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. Existe-il une valeur de k telle que le triangle \text{DEF} soit rectangle en \text{D ?}

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82
Démo
[Raisonner.]
On se place dans un carré \text{ABCD.} Les points \text{E,} \text{F,} \text{G} et \text{H} sont placés sur les côtés \text{[AB],} \text{[BC],} \text{[CD]} et \text{[DA]} tels que \text{AE =} \text{BF =} \text{CG =} \text{DH =} k\text{AB} avec k \in[0\: ; 1].

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Montrer que quelle que soit la valeur de k, le quadrilatère \text{EFGH} est un carré.

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83
[Chercher.]
On considère un cube \text{ABCDEFGH} d'arête de longueur c. Le point \text{I} est le centre de la face \text{EFGH.}

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Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{AIC}} au degré près.

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84
[Chercher.]
On considère trois points \text{A,} \text{B} et \text{C} du plan et le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
1. Soient \mathrm{A}_{1}, \text{B} _{1} et \mathrm{C}_{1} les images respectives des points \text{A,} \text{B} et \text{C} par la translation d'un vecteur quelconque \vec{u}. Que peut-on dire du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}}\:?

2. Soient \mathrm{A}_{2}, \text{B}_{2} et \mathrm{C}_{2} les images respectives des points A, B et C par la symétrie axiale d'une droite quelconque d. Que peut-on dire du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{A}_{2} \mathrm{B}_{2}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{2} \mathrm{C}_{2}}\:?

3. Soit \text{M} un point quelconque distinct de \text{A,} \text{B} et \text{C.} Soient \mathrm{A}_{3}, \mathrm{B}_{3} et \mathrm{C}_{3} les images respectives des points \text{A}, \text{B} et \text{C} par la symétrie centrale de centre \text{M.} Que peut-on dire du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{A}_{3} \mathrm{B}_{3}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{3} \mathrm{C}_{3}}\:?

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85
Démo
[Raisonner.]
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème de Viviani : soit \text{ABC} un triangle équilatéral et \text{M} un point intérieur au triangle. Alors la somme des distances de \text{M} aux trois côtés est égale à la longueur des hauteurs du triangle.

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Dans un repère orthonormé, on considère le triangle équilatéral \text{ABC} tel que { \mathrm{A}(0\:; 0),} {\mathrm{B}(6\:; 0)} et {\mathrm{C}(3\:; 3 \sqrt{3}).} Soit \text{M} un point intérieur au triangle de coordonnées \left(x_{\mathrm{M}} ; y_{\mathrm{M}}\right).
Les points \text{A',} \text{B'} et \text{C'} sont les projetés orthogonaux du point \text{M} sur les segments [\mathrm{BC}], [\mathrm{AC}] et [\mathrm{AB}].
1. Calculer la longueur de la hauteur issue du sommet \text{C.}

2. Déterminer une équation de la droite (\mathrm{AB}).

3. À l'aide d'une équation de la droite (\mathrm{AB}) et en calculant le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MC}}^{\prime} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}, exprimer les coordonnées de \text{C'} en fonction des coordonnées de \text{M.} Montrer de la même façon que
\mathrm{B}^{\prime}\left(\dfrac{x_{\mathrm{M}}+\sqrt{3} y_{\mathrm{M}}}{4}\:; \dfrac{\sqrt{3} x_{\mathrm{M}}+3 y_{\mathrm{M}}}{4}\right) et
\mathrm{A}^{\prime}\left(\dfrac{x_{\mathrm{M}}-\sqrt{3} y_{\mathrm{M}}+18}{4}\:; \dfrac{-\sqrt{3} x_{\mathrm{M}}+3 y_{\mathrm{M}}+6 \sqrt{3}}{4}\right)

4. Calculer les trois distances \text{MA}', \text{MB}' et \text{MC}'.

5. Les additionner. Que constate-t-on ?

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Histoire des maths

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Vincenzo Viviani (1622-1703) était un mathématicien, physicien et astronome italien, assistant de Galilée, qui publia en 1690 la version italienne des Éléments d'Euclide. Après la mort de Galilée, Viviani écrivit sa bibliographie. En guise d'hommage, son nom a été donné à un cratère lunaire. Son théorème a été étendu aux polygones réguliers à n côtés, ainsi qu'au cas où le point est à l'extérieur du triangle

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Club de Maths

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86
Approfondissement

Le but de cet exercice est de démontrer la loi des sinus. On considère un triangle \text{ABC} quelconque, d'aire \text{S,} muni des notations suivantes.

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1. On rappelle que l'aire du triangle \text{ABC} est donnée par la formule \mathrm{\text{S}}=\dfrac{1}{2} b c \sin (\widehat{\mathrm{A}}). En déduire deux autres formules s'appuyant sur des angles différents.

2. En déduire de la question précédente la loi des sinus : \dfrac{a b c}{2 \text{S}}=\dfrac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})}.

3. Application 1 : Soit \text{ABC} un triangle tel que b = 7 , \widehat{\text{A}}=\dfrac{\pi}{4} et \widehat{\text{C}}=\dfrac{2 \pi}{3}.
Déterminer une valeur approchée au dixième près des deux autres longueurs du triangle.

4. Application 2 : Triangulation. Redouane (\mathrm{R}) et Zola (\mathrm{Z}) sont partis à vélo chacun de leur côté. Zola veut rejoindre la ville d'Arkham City (\mathrm{A}) tandis que Redouane roule vers Dunwich (\mathrm{D}).
Ils échangent les mesures d'angles et de longueur ci-dessous par \text{SMS.} Calculer la distance qu'il leur reste à parcourir jusqu'à leur destination.

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87
Défi

Sur une montre à aiguilles classique sans trotteuse, à quelles heures, à la seconde près, le produit scalaire des deux aiguilles sera-t-il nul ?

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88
Enigme

Un joueur de football s'apprête à tirer. La situation est modélisée par le schéma ci-dessous. L'écart entre les poteaux de la cage de but est de 7,32 m. L'arbitre est à 10 m du joueur et à 4 m du poteau de but le plus proche.

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Quelle est la mesure de l'angle de tir a du joueur, arrondie au dixième de degré près ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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