Chapitre 9
Entrainement 2
Propriétés du produit scalaire
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51
[Calculer.]
On considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} tels que \|\vec{u}\|=6, \|\vec{v}\|=5 et \vec{u} \cdot \vec{v}=2. Calculer les expressions suivantes.
1. \|\vec{u}-\vec{v}\|
2. \|\vec{u}+\vec{v}\|
3. (\vec{u}-\vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v})
4. (\vec{u}+2 \vec{v}) \cdot(3 \vec{u}+\vec{v})
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52
En Physique
[Modéliser.]
On applique deux forces \overrightarrow{\mathrm{F}_{1}} et \overrightarrow{\mathrm{F}_{2}} à un solide que l'on assimile à un point \text{O.}
On note \overrightarrow{\mathrm{F}} la résultante de ces deux forces.
1. Quel est le lien entre les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{F}}, \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1} et \overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\:?
2. Sachant que \mathrm{F}_{1} = 15 N, \mathrm{F}_{2} = 13 N, et que \left(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\right)=40^{\circ} déterminer l'intensité de la résultante \|\overrightarrow{\mathrm{F}}\|. Arrondir le résultat au dixième.
Aide
On rappelle que \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} du plan.
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53
[Calculer.] On considère le rectangle \text{ABCD} tel que \text{AB = 5} et \text{BC = 3.} On note \text{O} l'intersection des diagonales du rectangle.
1. Calculer les normes des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BD}}.
2. Écrire la somme des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}} d'une autre façon puis donner sa norme.
3. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} en se servant uniquement des réponses aux questions précédentes.
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54
[Chercher.] Déterminer les éventuelles valeurs du réel x pour lesquelles les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
1. \vec{u}\begin{pmatrix}{6} \\ {x}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{-3} \\ {2}\end{pmatrix}
2. \vec{u}\begin{pmatrix}{-3} \\ {x}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{x-1} \\ {4}\end{pmatrix}
3. \vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {8}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {-2}\end{pmatrix}
4. \vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {-2}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {8}\end{pmatrix}
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55
[Chercher.]
Déterminer les éventuelles valeurs du réel t pour lesquelles les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
1. \vec{u}\begin{pmatrix}{-2} \\ {t}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{4 t} \\ {2}\end{pmatrix}
2. \vec{u}\begin{pmatrix}{t} \\ {-2}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{t+6} \\ {2 t-\dfrac{1}{2}}\end{pmatrix}
3. \vec{u}\begin{pmatrix}{\sqrt{3} t} \\ {2 t}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{\sqrt{5} t+1} \\ {\sqrt{12}}\end{pmatrix}
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56
[Chercher.] On considère les points du plan suivants : \mathrm{A}(-10\:; 4), \mathrm{B}(-4\:; 1) et \mathrm{C}(-1\:; 7).
1. En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle \text{ABC} est un triangle rectangle.
2. Déterminer les coordonnées du point \text{D} tel que le quadrilatère \text{ABCD} soit un rectangle.
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57
[Chercher.]
On considère les points \mathrm{A}(-4\:;-2), \mathrm{B}(2\:;-3) et \mathrm{C}(1\:; 4).
Les points \mathrm{D}(0\:;-2), \mathrm{E}\left(\dfrac{1}{2}\: ; 1\right) et \mathrm{F}(2\:; 7) appartiennent-ils à la hauteur issue de \text{C} dans le triangle \text{ABC ?}
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59
[Chercher.]
On considère le point \mathrm{A}(4\:; 5) et la droite d d'équation 5x + 4y + 1 = 0. On note \text{H} le projeté orthogonal du point \text{A} sur la droite d.
En appliquant la même méthode que dans l'exercice précédent, calculer la distance du point \text{A} à la droite d.
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58
[Chercher.] On considère le point \mathrm{A}(3\:; 0) et la droite d d'équation 3x - 2y + 4 = 0. On note \text{H} le projeté orthogonal du point \text{A} sur la droite d.
1. On note h l'abscisse du point \text{H.} Écrire l'ordonnée de \text{H} en fonction de h.
2. Déterminer la valeur de h en utilisant un produit scalaire.
3. Quelles sont les coordonnées de \text{H ?}
4. En déduire la distance du point \text{A} à la droite d définie par la longueur \text{AH.}
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60
Démo
[Raisonner.]
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls.
1. Supposons que \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
a. Quelle est la valeur de \cos (\vec{u}, \vec{v})\:?
b. En déduire alors la valeur de \vec{u} \cdot \vec{v}.
2. Supposons maintenant que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
a. Pourquoi peut-on affirmer que \cos (\vec{u}, \vec{v})=0\:?
b. Que peut-on alors dire de \vec{u} et \vec{v}\:?
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61
Algo
[Calculer .]
1. a, b, a^{\prime} et b' sont quatre réels donnés.
L'algorithme suivant renvoie VRAI lorsque deux droites sont perpendiculaires et FAUX lorsqu'elles ne le sont pas.
\boxed{
\begin{array} { l } \text{p} \leftarrow \text{a} \times \text{a}^{\prime}+\text{b} \times \text{b}^{\prime} \\
\text{Si } \mathrm{p}=0\::\\
\quad \text { retourner(VRAI) } \\
\text { sinon : } \\
\quad \text { retourner(FAUX) } \\
\text { Fin Si } \\
\end{array}
}
Expliquer comment fonctionne l'algorithme et à quoi correspondent les différentes variables.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients des équations cartésiennes de deux droites afin que celles-ci soient perpendiculaires
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62
Démo
[Raisonner.] En utilisant la relation de Chasles et la distributivité du produit scalaire, démontrer le résultat connu : « les diagonales d'un losange sont perpendiculaires ».
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64
Démo
[Raisonner.]
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
Montrer que \|\vec{u}-\vec{v}\|=\|\vec{u}+\vec{v}\| si et seulement si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux.
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63
Démo
[Raisonner.]
On rappelle que \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v}).
1. a. Démontrer que \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\|\vec{v}\|^2.
b. En déduire la formule : \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).
2. En raisonnant de même, démontrer les formules suivantes.
a. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right).
b. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right).
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65
Démo
[Raisonner.]
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
Montrer que \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\| si et seulement si les vecteurs \vec{u}+\vec{v} et \vec{u}-\vec{v} sont orthogonaux.
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66
GeoGebra
[Raisonner.]
On considère un rectangle \text{ABCD} tel que \text{AD = 2AB.}
On place les points \text{E} et \text{F} tels que \overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{DF}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}. On note \text{G} le milieu du segment [\mathrm{CE}].
1. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AG}} en fonction des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. a. Construire la figure à l'aide du logiciel GeoGebra. Quelle conjecture peut-on émettre sur les droites (\mathrm{AG}) et (\mathrm{FE})\:?
b. Démontrer cette conjecture.
2. a. Construire la figure à l'aide du logiciel GeoGebra. Quelle conjecture peut-on émettre sur les droites (\mathrm{AG}) et (\mathrm{FE})\:?
b. Démontrer cette conjecture.
GeoGebra
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67
Démo
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que, dans un triangle \text{ABC} non plat, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}} où \text{H} est le pied de la hauteur issue de \text{C.}
1. À l'aide de la relation de Chasles, décomposer le vecteur \text{AC} en faisant apparaître le point \text{H.}
2. À l'aide de la distributivité du produit scalaire, développer puis réduire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} pour retrouver l'expression cherchée.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
