Propriétés du produit scalaire

Parcours 1 : exercices

39 ;

40 ;

53 ;

54

et

70

Parcours 2 : exercices

44 ;

50 ;

56

et

68

Parcours 3 : exercices

45 ;

58 ;

62 ;

74

et

79

51

[Calculer.]
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =6,$ $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2.$ Calculer les expressions suivantes.
1. $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert$

2. $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert$

3. $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$

4. $(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v})\cdot (3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$

52

En Physique

[Modéliser.]
On applique deux forces $\overrightarrow{{\mathrm{F}}_1}$ et $\overrightarrow{{\mathrm{F}}_2}$ à un solide que l'on assimile à un point $\text{O.}$
On note $\overrightarrow{\mathrm{F}}$ la résultante de ces deux forces.



1. Quel est le lien entre les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{F}},$ ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}_1$ et $\overrightarrow{{\mathrm{F}}_2}?$

2. Sachant que ${\mathrm{F}}_1$ = 15 N, ${\mathrm{F}}_2$ = 13 N, et que $\left(\overrightarrow{{\mathrm{F}}_1},\overrightarrow{{\mathrm{F}}_2}\right)=40^{\circ }$ déterminer l'intensité de la résultante $\Vert \overrightarrow{\mathrm{F}}\Vert .$ Arrondir le résultat au dixième.

53

[Calculer.]
On considère le rectangle $\text{ABCD}$ tel que $\text{AB = 5}$ et $\text{BC = 3.}$ On note $\text{O}$ l'intersection des diagonales du rectangle.



1. Calculer les normes des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}.$

2. Écrire la somme des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ d'une autre façon puis donner sa norme.

3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}$ en se servant uniquement des réponses aux questions précédentes.

54

[Chercher.]
Déterminer les éventuelles valeurs du réel $x$ pour lesquelles les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}6\\ x\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-3\\ x\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x-1\\ 4\end{array}\right)$

3. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 8\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\\ -2\end{array}\right)$

4. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\\ 8\end{array}\right)$

55

[Chercher.]
Déterminer les éventuelles valeurs du réel $t$ pour lesquelles les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ t\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4t\\ 2\end{array}\right)$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}t\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}t+6\\ 2t-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

3. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}t\\ 2t\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}\sqrt{5}t+1\\ \sqrt{12}\end{array}\right)$

56

[Chercher.]
On considère les points du plan suivants : $\mathrm{A}(-10;4),$ $\mathrm{B}(-4;1)$ et $\mathrm{C}(-1;7).$
1. En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle $\text{ABC}$ est un triangle rectangle.

2. Déterminer les coordonnées du point $\text{D}$ tel que le quadrilatère $\text{ABCD}$ soit un rectangle.

57

[Chercher.]
On considère les points $\mathrm{A}(-4;-2),$ $\mathrm{B}(2;-3)$ et $\mathrm{C}(1;4).$
Les points $\mathrm{D}(0;-2),$ $\mathrm{E}\left(\frac{1}{2};1\right)$ et $\mathrm{F}(2;7)$ appartiennent-ils à la hauteur issue de $\text{C}$ dans le triangle $\text{ABC ?}$

59

[Chercher.]
On considère le point $\mathrm{A}(4;5)$ et la droite $d$ d'équation $5x+4y+1=0.$ On note $\text{H}$ le projeté orthogonal du point $\text{A}$ sur la droite $d.$
En appliquant la même méthode que dans l'exercice précédent, calculer la distance du point $\text{A}$ à la droite $d.$

58

[Chercher.]
On considère le point $\mathrm{A}(3;0)$ et la droite $d$ d'équation $3x-2y+4=0.$ On note $\text{H}$ le projeté orthogonal du point $\text{A}$ sur la droite $d.$
1. On note $h$ l'abscisse du point $\text{H.}$ Écrire l'ordonnée de $\text{H}$ en fonction de $h.$

2. Déterminer la valeur de $h$ en utilisant un produit scalaire.

3. Quelles sont les coordonnées de $\text{H ?}$

4. En déduire la distance du point $\text{A}$ à la droite $d$ définie par la longueur $\text{AH.}$

60

Démo

[Raisonner.]
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls.
1. Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
a. Quelle est la valeur de $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})?$

b. En déduire alors la valeur de $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}.$

2. Supposons maintenant que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.$
a. Pourquoi peut-on affirmer que $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0?$

b. Que peut-on alors dire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}?$

62

Démo

[Raisonner.]
En utilisant la relation de Chasles et la distributivité du produit scalaire, démontrer le résultat connu : « les diagonales d'un losange sont perpendiculaires ».

Insérer une formule mathématique

64

Démo

[Raisonner.]
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan.
Montrer que $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert =\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

63

Démo

[Raisonner.]
On rappelle que $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).$
1. a. Démontrer que $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2.$

b. En déduire la formule : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right).$

2. En raisonnant de même, démontrer les formules suivantes.
a. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2\right).$

b. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{4}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2\right).$