Sauf indication contraire, pour tous les exercices, le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{{i}}, \overrightarrow{{j}}).

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38
[Effectuer.]
Les points \text{A,} \text{B,} \text{C,} \text{D,} \text{E,} \text{F,} \text{G} et \text{H} sont placés sur une droite graduée de façon à ce que \text{AB = BC =} \text{CD = DE =} \text{EF = FG =} \text{GH = 1.}

Les différentes expressions du produit scalaire

Déterminer les produits scalaires suivants.

1. \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}

2. \overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}

4. \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HD}}

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39
[Chercher.]

On considère le rectangle \text{ABCD} ci-après. \text{E,} \text{F,} \text{G} et \text{H} sont respectivement les milieux des côtés [\mathrm{BC}], [\mathrm{CD}], [\mathrm{DA}] et [\mathrm{AB}].
\text{O} est l'intersection des diagonales du rectangle.

Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\: : \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}\: : \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\: : \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}\: :

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40
[Chercher.]

Dans une unité de longueur donnée, on considère un carré \text{ABCD} dont le côté mesure \text{3,} accolé à deux rectangles identiques \text{BEFC} et \text{EGHF} de largeur \text{2.}

En utilisant la formule du projeté orthogonal, calculer les produits scalaires suivants.

1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}

3. \overrightarrow{\mathrm{El}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}

4. \overrightarrow{\mathrm{CF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GD}}

5. \overrightarrow{\mathrm{IC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}

6. \overrightarrow{\mathrm{EJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FA}}

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41
[Représenter.]

On considère les vecteurs \vec{u} et \vec{v} dans le repère orthonormé suivant.

En lisant graphiquement les coordonnées des vecteurs \vec{u} et \vec{v}, calculer leur norme puis le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{v}.

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42
Python
[Modéliser.]

1. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé, calcule sa norme.

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2. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées de deux vecteurs dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs.

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43
[Calculer.]
On considère les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{1-\sqrt{2}} \\ {1}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{1+\sqrt{2}} \\ {-4}\end{pmatrix}. Calculer :

1. \vec{u} \cdot \vec{v}

2. (3 \vec{u}) \cdot \vec{v}

3. (4 \vec{u}) \cdot(-2 \vec{v})

4. \vec{u} \cdot(\sqrt{2} \vec{u}-\vec{v})

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44
[Raisonner.]

Le triangle \text{ABC} est un triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm. \text{I} est le pied de la hauteur issue de \text{A.} Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

1. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}

2. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BI}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

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45
[Raisonner.]

On considère le rectangle \text{ABCD} de longueur 10 et de largeur 6. \text{E} est le milieu du côté [\mathrm{AB}] et \text{F} le milieu du côté [\mathrm{BC}].

Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.1. \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}

2. \overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}

4. \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

5. \overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}

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46
[Calculer.]
On considère les points \mathrm{A}(5\:;-3), \mathrm{B}(-2\:; 7), \mathrm{C}\left(\dfrac{-1}{2}\:; 0\right) et \mathrm{D}\left(-5\:; \dfrac{3}{4}\right).
Calculer les produits scalaires \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

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Pour les exercices
47
à
48

On définit le travail \text{W,} exprimé en joule, d'une force \overrightarrow{\text{F}}, en newton, sur un déplacement rectiligne \text{AB,} en mètre, par le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

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47
En Physique
[Modéliser.]
La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d'un angle de \text{5°} par rapport à l'horizontale.

La traction de la caravane est modélisée par une force \overrightarrow{\text{F}} d'intensité 15 000 newtons, inclinée d'un angle de \text{9°} par rapport à l'horizontale. Calculer le travail de la force \overrightarrow{\text{F}} le long de cette route. Donner l'écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.

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48
En Physique
[Modéliser.]
Pendant leur promenade en tandem, Daniel et Barbara ont crevé en bas de la montagne (point \text{A}). Ils doivent pousser leur tandem jusqu'au prochain garage (point \text{G}), situé à 2 km, sur une pente inclinée d'un angle de \text{10°} par rapport à l'horizontale. La situation est schématisée ci-dessous.

Le tandem est soumis à son poids \text{P} = mg durant toute la montée, avec m = 20 kg et g = 9,8 N·kg^–1. Calculer le travail du poids du tandem sur la distance \text{AG.}

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49
[Calculer.]
Soient \vec{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {x}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{-1} \\ {4}\end{pmatrix} deux vecteurs du plan avec x \in \mathbb{R}.
Déterminer la valeur de {x} pour obtenir :
1. \vec{u} \cdot \vec{v}=2

2. \vec{u} \cdot \vec{v}=-5

3. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{7}{3}

4. \vec{u} \cdot \vec{v}=\sqrt{8}

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50
[Calculer.]

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}{\sqrt{3}} \\ {3}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {1}\end{pmatrix}deux vecteurs du plan avec x \in \mathbb{R}. Déterminer toutes les éventuelles valeurs de x pour obtenir :
1. (\vec{u}, \vec{v})=0

2. (\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{2}

3. (\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{3}

4. (\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{6}

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Dans la vie professionnelle

Le dessinateur / la dessinatrice en construction mécanique doit posséder une formation scientifique et technologique solide pour utiliser, par exemple, la théorie sur les systèmes hydrauliques ou pneumatiques. Cette théorie est à la base des plans et schémas réalisés par le dessinateur et fait intervenir des lois physiques utilisant les vecteurs et les produits scalaires.

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Histoire des maths

Les différentes expressions du produit scalaire - Grassman

Le produit scalaire est un puissant outil mathématique dont les fondements ont été posés par le mathématicien allemand Hermann Grassmann, ayant des applications, aussi bien en mathématiques (pour la détermination d'objets perpendiculaires ou orthogonaux) qu'en physique (pour le travail des forces). Il apparaît pourtant tardivement dans l'histoire des sciences (fin du XIX^e siècle) et se voit prolongé au XX^e siècle dans des espaces de dimensions supérieures ou complexes. À la même époque, le produit vectoriel qui, à deux vecteurs, associe un troisième vecteur et non un nombre réel, fait son apparition.

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Mathématiques 1re Spécialité

Les différentes expressions du produit scalaire

Pour les exercices 47 à 48

Dans la vie professionnelle

Histoire des maths

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47
à
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