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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 9
Cours 2
Propriétés du produit scalaire
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ABilinéarité et symétrie
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Propriété
Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} du plan et pour tout réel k,
1. \vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w} ;
2. \vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}) ;
3. \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
1. \vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w} ;
2. \vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}) ;
3. \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
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On dit que le produit scalaire est bilinéaire et symétrique.
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Démonstration
On admet le point 1.. On utilise la définition du produit scalaire pour démontrer les points 2. et 3. en remarquant que :
- si k>0, \cos (k \vec{u}, \vec{v})=\cos (\vec{u}, \vec{v}) et \|k \vec{u}\|=k\|\vec{u}\| ;
- si k\lt 0, \cos (k \vec{u}, \vec{v})=-\cos (\vec{u}, \vec{v}) et \|k \vec{u}\|=-k\|\vec{u}\| ;
- \cos (\vec{u}, \vec{v})=\cos (\vec{v}, \vec{u}).
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Propriété
Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} du plan,
1. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right) ;
2. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right) ;
3. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-|| \vec{u}-\vec{v} \|^{2}\right).
1. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right) ;
2. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right) ;
3. \vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-|| \vec{u}-\vec{v} \|^{2}\right).
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Cette propriété donne de nouvelles formules pour calculer un produit scalaire.
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Démonstration
Voir ex. p. 247.
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Conséquence
Dans un triangle \text{ABC}, la deuxième formule des normes peut s'appliquer de la manière suivante :
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2})=\dfrac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}).
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2})=\dfrac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}).
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Exemple
Si \text{AB}=6, \text{AC}=5 et \text{CB}=4 alors :
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(6^{2}+5^{2}-4^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(36+25-16)=\dfrac{45}{2}.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(6^{2}+5^{2}-4^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(36+25-16)=\dfrac{45}{2}.
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Application et méthode
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ÉnoncéCalculer des angles et des longueurs dans le plan
Le triangle isocèle \text{ABC} est inscrit dans un trapèze rectangle \text{ABDE.} Les longueurs sont données en centimètre.
1. Avec \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, approximer au dixième de degré près la mesure de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
2. Avec \overrightarrow{\mathrm{EA} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}, approximer au dixième de centimètre près la longueur \text{AC .}
1. Avec \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, approximer au dixième de degré près la mesure de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
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1. Il faut penser à utiliser la formule du projeté orthogonal pour obtenir le produit scalaire, puis la formule trigonométrique pour calculer l'angle cherché.
2. On utilise la formule trigonométrique pour calculer le produit scalaire voulu puis, à l'aide d'une propriété, on calcule la longueur cherchée.
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Solution
1. \text{A} est le projeté orthogonal de \text{E} sur \text{(AB)} et \text{B} est le projeté orthogonal de \text{D} sur \text{(AB)} donc :
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=4^{2}=16
Or, par définition, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{ED}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
Donc 8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=16, donc \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Avec la calculatrice, on trouve (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 26{,}6^{\circ}. Donc (\overrightarrow{\mathrm{FA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 63{,}4^{\circ}.
2. \overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{EA}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{EC}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{EC}})=4 \times \sqrt{5} \times \cos \left(63{,}4^{\circ}\right) \approx 4.
Or, \overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{EA}^{2}+\mathrm{EC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right).
Donc \dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right) \approx 4, par conséquent \mathrm{AC}^{2} \approx 13 et \mathrm{AC} \approx 3{,}6 cm.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=4^{2}=16
Or, par définition, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{ED}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
Donc 8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=16, donc \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Avec la calculatrice, on trouve (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 26{,}6^{\circ}. Donc (\overrightarrow{\mathrm{FA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 63{,}4^{\circ}.
2. \overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{EA}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{EC}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{EC}})=4 \times \sqrt{5} \times \cos \left(63{,}4^{\circ}\right) \approx 4.
Or, \overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{EA}^{2}+\mathrm{EC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right).
Donc \dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right) \approx 4, par conséquent \mathrm{AC}^{2} \approx 13 et \mathrm{AC} \approx 3{,}6 cm.
Pour s'entraîner
exercices et p. 243 et p. 246
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BOrthogonalité
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Définition
Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}} sont dits orthogonaux lorsque les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont perpendiculaires.
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On pourra utiliser la notation \overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}.
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Propriété
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si \vec{u} \cdot \vec{v}=0
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Cette propriété implique que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
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Démonstration
Voir ex. p. 247.
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Application et méthode
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Énoncé
On considère un rectangle \text{ABCD} tel que \text{AB}=\dfrac{3}{2} \text{BC}, \overrightarrow{\mathrm{A} \mathrm{F}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
Que peut-on dire des droites (\text{DE}) et (\text{CF}) ?
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On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître des sommes des vecteurs et simplifier le produit scalaire en utilisant des vecteurs orthogonaux.
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Solution
\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}
&=(\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}})
\\&=\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}
\\&=0+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+0
\\&=\dfrac{-1}{3} \mathrm{AB}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2}
\\&=\dfrac{-1}{3}\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2}
\\&=\dfrac{-1}{3} \times \dfrac{9}{4} \times \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2}
\\&=\dfrac{-3}{4} \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2}
\\&=0\end{aligned}
Les droites (\text{DE}) et (\text{CF}) sont donc perpendiculaires.
Les droites (\text{DE}) et (\text{CF}) sont donc perpendiculaires.
Pour s'entraîner
exercices et p. 243
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