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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 9
Cours 3
Vecteur normal
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AGénéralités
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Définition
Un vecteur normal à une droite d quelconque du plan est un vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de d .
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Ce vecteur est alors orthogonal à tout vecteur directeur de d .
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Propriété
Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'une est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.
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Démonstration
On suppose que d et d' sont perpendiculaires. Si \vec{u} est un vecteur directeur de d et \vec{v} de d', alors \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux. \vec{v} étant normal à d et \vec{u} à d', la propriété est vérifiée.
Réciproquement, si \vec{u}, vecteur normal à d, est orthogonal à \vec{v}, vecteur normal à d', alors \vec{v} est un vecteur directeur de d et \vec{u} de d'. Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, d et d' sont perpendiculaires.
Réciproquement, si \vec{u}, vecteur normal à d, est orthogonal à \vec{v}, vecteur normal à d', alors \vec{v} est un vecteur directeur de d et \vec{u} de d'. Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, d et d' sont perpendiculaires.
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Exemple
On considère un carré \text{ABCD} de centre \text{O.}
Les vecteurs \overrightarrow{\text{AD}} et \overrightarrow{\text{BC}} sont tous les deux des vecteurs
normaux à la droite \text{(AB).}
Les vecteurs \overrightarrow{\text{BO}} et \overrightarrow{\text{BD}} sont des vecteurs normaux à \text{(AC).}
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Application et méthode
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Énoncé
Soit d une droite de vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {5}\end{pmatrix}.
1. Déterminer une condition sur les coordonnées d'un vecteur \vec{n} non nul pour qu'il soit normal à d .
2. Le vecteur \vec{v}\begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} est-il un vecteur normal à d ?
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1. On applique le critère de colinéarité sur les coordonnées des deux vecteurs \vec{u} et \vec{n} afin d'exprimer l'ordonnée de \vec{n} en fonction de son abscisse.
2. On vérifie que les coordonnées de \vec{v} respectent la condition de la question 1..
2. On vérifie que les coordonnées de \vec{v} respectent la condition de la question 1..
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Solution
1. Si \vec{n}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} est un vecteur normal à d , alors il est orthogonal à \vec{u} .
Donc \vec{u} \cdot \vec{n}=3 x+5 y=0 soit y=-\dfrac{3}{5} x.
Les coordonnées de \vec{n} sont donc de la forme \begin{pmatrix}{x} \\ {-\dfrac{3}{5} x}\end{pmatrix} avec x \in \R.
2. En remplaçant x par -10 dans l'expression de \vec{n}, on obtient \begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} donc \vec{v} est normal à d .
Les coordonnées de \vec{n} sont donc de la forme \begin{pmatrix}{x} \\ {-\dfrac{3}{5} x}\end{pmatrix} avec x \in \R.
2. En remplaçant x par -10 dans l'expression de \vec{n}, on obtient \begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} donc \vec{v} est normal à d .
Pour s'entraîner
exercices p. 248
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BÉquations cartésiennes
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Propriété
Soient a , b et c trois réels tels que a et b ne sont pas simultanément nuls.
La droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal le
vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}.
Réciproquement, toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 .
Réciproquement, toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 .
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Cette droite admet pour vecteur directeur le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}.
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Démonstration
Un vecteur directeur de la droite d d'équation ax + by + c = 0 est \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}. Soit \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}, alors \vec{u} \cdot \vec{n}=(-b) \times a+a \times b=0, donc \vec{n} est un vecteur normal à d .
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Soit \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}, alors \vec{n} et \vec{u} sont orthogonaux : \vec{u} est donc un vecteur directeur d'une droite d ayant une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 , où c est un réel à déterminer.
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Soit \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}, alors \vec{n} et \vec{u} sont orthogonaux : \vec{u} est donc un vecteur directeur d'une droite d ayant une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 , où c est un réel à déterminer.
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Exemple
La droite d'équation cartésienne 3x - 4y + 5 = 0 admet pour vecteur normal le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-4}\end{pmatrix} et pour vecteur directeur le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}{4} \\ {3}\end{pmatrix}. On a bien \vec{n} \cdot \vec{u}=0.
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Application et méthode
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Énoncé
Dans un repère orthonormé, déterminer, de deux fa çons différentes, une équation cartésienne de la droite d passant par le point \mathrm{A}(5\, ; - 1) et de vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}.
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1. On utilise le fait que le vecteur de coordonnées \begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} est un vecteur normal à la droite d d'équation ax + by + c = 0 .
De plus, les coordonnées de \mathrm{A} vérifient cette équation, ce qui permet de trouver c .
2. On utilise la propriété du produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
De plus, les coordonnées de \mathrm{A} vérifient cette équation, ce qui permet de trouver c .
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Solution
1. On lit sur le vecteur normal que a = 2 et b = -3 . Donc une équation de d est de la forme 2x - 3y + c = 0 . \mathrm{A} \in d donc 2 \times 5 - 3 \times (-1) + c = 0 et donc c = -13 .
Ainsi, une équation de la droite d est 2x - 3y - 13 = 0 .
2. Soit \mathrm{M}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} appartenant à d . Alors \overrightarrow{\text{AM}} est un vecteur directeur de d et est orthogonal au vecteur \vec{n} .
\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0 &\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x-5} \\ {y+1}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}=0 \\&\Leftrightarrow 2(x-5)-3(y+1)=0 \\&\Leftrightarrow 2 x-3 y-13=0.\end{aligned}
Donc une équation de la droite d est 2x - 3y - 13 = 0 .
Ainsi, une équation de la droite d est 2x - 3y - 13 = 0 .
2. Soit \mathrm{M}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} appartenant à d . Alors \overrightarrow{\text{AM}} est un vecteur directeur de d et est orthogonal au vecteur \vec{n} .
\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0 &\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x-5} \\ {y+1}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}=0 \\&\Leftrightarrow 2(x-5)-3(y+1)=0 \\&\Leftrightarrow 2 x-3 y-13=0.\end{aligned}
Donc une équation de la droite d est 2x - 3y - 13 = 0 .
Pour s'entraîner
exercices et p. 243
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