Pour chacun des cas suivants, déterminer un vecteur directeur de la droite (\mathrm{AB}) puis un vecteur normal.
1. \mathrm{A}(-4\:; 3) et \mathrm{B}(2\:; 0)

2. \mathrm{A}\left(2\:;5\right) et \text{B}(-3\:; 1)

3. \mathrm{A}\left(\dfrac{5}{4}\:; 1\right) et \text{B}\left(3\:;-\dfrac{1}{4}\right)

4. \mathrm{A}(\sqrt{2}\:; 1) et \mathrm{B}(1\:; \sqrt{2})

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69
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer en justifiant, si les droites \mathrm{D}_{1} et \mathrm{D}_{2} sont perpendiculaires.
1. \mathrm{D}_{1}\:: 2 x+8 y-5=0 et \mathrm{D}_{2} : 5 x-7 y-6=0.

2. \mathrm{D}_{1}\::-5 x+2 y+1=0 et \mathrm{D}_{2} : y=\dfrac{-2}{5} x.

3. \mathrm{D}_{1} de vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{7}{3}} \\ \\ {\dfrac{2}{3}}\end{pmatrix} et \mathrm{D}_{2}\:: \dfrac{9}{4} x+2=0.

4. \mathrm{D}_{1} :(1-\sqrt{2}) x+(\sqrt{2}+1) y=-3 et \mathrm{D}_{2}:(1+\sqrt{2}) x+(\sqrt{2}-1) y=12.

5. \mathrm{D}_{1} : y=8 x-5 et \mathrm{D}_{2} passant par les points de coordonnées \mathrm{A}(-2\:; 0) et \text{B}(6\:;-1).

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70
[Chercher.]

Pour chaque droite, utiliser l'équation donnée pour déterminer les coordonnées d'un vecteur normal et d'un vecteur directeur.
1. 3 x-8 y+6=0

2. -2 x+5 y-2=0

3. -y+3 x+4=0

4. y=\dfrac{2}{3} x-6

5. x=-7

6. -2 x-3=0

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71
[Calculer.].]
À partir des équations de droite suivantes, trouver les coordonnées d'un vecteur normal à la droite et d'un point appartenant à cette droite.
1. 5 x-6 y+3=0

2. 3 y-2 x=5

3. \sqrt{2} x-\sqrt{2} y=2

4. y=x

5. y-\dfrac{7}{3}=0

6. x=-4

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72
[Calculer.]
Soit \vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {5}\end{pmatrix} un vecteur du plan. Parmi les droites suivantes, quelles sont celles qui admettent \vec{u} comme vecteur normal ? Justifier.
1. La droite \mathrm{D}_{1} d'équation 3 y+5 x-10=0.

2. La droite \mathrm{D}_{2} d'équation y=\dfrac{2}{5}-3 x.

3. La droite \mathrm{D}_{3} d'équation 3 x=-5 y+13.

4. La droite \mathrm{D}_{4} passant par les points \mathrm{A}(-4\:; 3) et \mathrm{B}(1\:; 1).

5. La droite \mathrm{D}_{5} coupant l'axe des abscisses en x=5 et l'axe des ordonnées en y=3.

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73
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point \text{A} et perpendiculaire à la droite (\mathrm{BC}).
1. \mathrm{A}(1\:; 4) et \vec{u}\begin{pmatrix}{-4} \\ {3}\end{pmatrix} un vecteur directeur de (\mathrm{BC}).

2. \mathrm{A}(0\:; 3), \mathrm{B}(2\:;-1) et \mathrm{C}(-5\:; 3).

3. \mathrm{A}(-5\:; 7) et la droite (\mathrm{BC}) est parallèle à l'axe des ordonnées.

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74
Démo
[Raisonner.]

On considère le triangle \text{ABC} tel que \mathrm{A}(4\:;-3), \mathrm{B}(5\:; 3) et \mathrm{C}(-2\:; 3).
1. Déterminer une équation de la hauteur issue de \text{A} dans le triangle \text{ABC.}

2. Déterminer une équation de la hauteur issue de \text{B} dans le triangle \text{ABC.}

3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection \text{H} des deux hauteurs.

4. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}. Quel résultat connu retrouve-t-on ?

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75
Démo
[Raisonner.]
On considère le triangle \text{ABC} tel que \mathrm{A}(6\:;-1), \mathrm{B}(1\:; 2) et \mathrm{C}(-3\:; 1).
1. Déterminer une équation de la médiatrice de [\mathrm{BC}].

2. Déterminer une équation de la médiatrice de [\mathrm{AC}].

3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection \text{O} des deux médiatrices.

4. On note \text{C}^{\prime} le milieu du segment [\mathrm{AB}]. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{O}}. Quel résultat connu retrouve-t-on ?

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76
Python
[Modéliser.]
Écrire un programme avec Python qui, à partir des coordonnées d'un point \text{A} et d'un vecteur \vec{n} dans un repère orthonormé, détermine les coefficients d'une équation cartésienne de la droite \text{D} passant par \text{A} et de vecteur normal \vec{n}.

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