Mathématiques 4e - 2022
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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Chapitre 12
Activités
Propriétés des triangles rectangles
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Histoire des maths
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Pythagore
Dans sa jeunesse, Pythagore (580-495 av. J.-C.) aurait remporté toutes les compétitions de pugilat (l'ancêtre de la boxe) lors de jeux olympiques. Il a ensuite voyagé dans de nombreuses régions du monde et en revient avec différents savoirs. Pythagore devient avant tout un philosophe (dont il est l'inventeur du nom) et un réformateur religieux. On doit à sa doctrine l'idée que « tout est nombre » (entier ou rationnel). Il influence alors fortement les domaines de l'arithmétique (nombres parfaits, nombres excessifs, triplets pythagoriciens, etc.), la géométrie, la musique (création de la gamme) et l'astronomie (sphéricité de la Terre).
Le théorème qui porte son nom était en réalité connu avant lui : il existe des tablettes babyloniennes qui montrent son utilisation et on le retrouve également dans le papyrus de Rhind. On ne connaît pas de démonstration de ce théorème de la part de Pythagore et la plus ancienne retrouvée est celle donnée dans les Éléments d'Euclide (environ 300 av. J.-C.).
Le théorème qui porte son nom était en réalité connu avant lui : il existe des tablettes babyloniennes qui montrent son utilisation et on le retrouve également dans le papyrus de Rhind. On ne connaît pas de démonstration de ce théorème de la part de Pythagore et la plus ancienne retrouvée est celle donnée dans les Éléments d'Euclide (environ 300 av. J.-C.).
Sur la tablette babylonienne suivante qui représente un carré de côté \mathbf{30}, les nombres sont écrits en base \mathbf{60}. Cela signifie que \mathbf{1~24~51~10} désigne le
nombre \mathbf{1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^{2}}+\frac{10}{60^{3}}} et \mathbf{42~25~35} le nombre \mathbf{42+\frac{25}{60}+\frac{35}{60^{2}}}.
Lequel de ces deux nombres désigne la longueur de la diagonale du carré ?
Lequel de ces deux nombres désigne la longueur de la diagonale du carré ?
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Activité 1Racine carrée d'un nombre positif
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Objectif
Introduire la racine carrée.
1
a) Calculer 5^2 et (-5)^2.Le nombre positif qui a pour carré 25 est appelé la racine carrée de 25. Donc 5 est la racine carrée de 25.
b) Calculer 9^2 et (-9)^2 et en déduire la racine carrée de 81.
c) En justifiant, déterminer la racine carrée de 49.
2
Pour calculer une racine carrée à la calculatrice, on utilise la touche \boxed{\sqrt{}}.a) Taper \sqrt{19} sur la calculatrice. En déduire un arrondi au centième près de la racine carrée de 19 et un encadrement de \sqrt{19} par deux entiers consécutifs.
3
À l'aide de la calculatrice, déterminer \sqrt{6,656~4}, \sqrt{7}, \sqrt{225} et \sqrt{35,2}. Donner la valeur exacte ou approchée au dixième près si nécessaire.4
Qu'indique la calculatrice lorsque l'on tape \sqrt{-5} ? Comment peut-on l'expliquer ?Bilan
Comment peut-on définir la racine carrée d'un nombre positif a ?
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Activité 2Le puzzle de Pythagore
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Tracer un triangle \text{ABC} rectangle en \text{B}. Tracer les trois carrés extérieurs au triangle comme le montre la figure suivante. En prolongeant les côtés du plus grand carré et en découpant suivant les pointillés les deux petits carrés, on obtient cinq pièces qui permettent de recouvrir le grand carré à la manière d'un puzzle.
GeoGebra
1
Exprimer l'aire de chacun des trois carrés en fonction de \text{AB}, \text{BC} et \text{AC}.2
Écrire l'égalité obtenue à l'aide du puzzle.Bilan
Dans un triangle \text{DEF} rectangle en \text{D}, quelle égalité sur les longueurs peut-on écrire ?
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Activité 3Une démonstration
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On considère un triangle \text{ABC} tel que \text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2. On veut démontrer que le triangle \text{ABC} est rectangle. On a tracé un point \text{C}^{\prime} tel que \text{ABC}^{\prime} est un triangle rectangle en \text{A} et qui vérifie \text{AC} = \text{AC}^{\prime}.
1
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle \text{ABC}^{\prime}, montrer que \text{BC} = \text{BC}^{\prime}.2
Démontrer que {\text{(AB)} \perp \text{(CC}^{\prime})}. Que dire alors des points \text{A}, \text{C} et \text{C}^{\prime} ?Bilan
Que peut-on dire du triangle \text{ABC} ? Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore.
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Activité 4Cosinus d'un angle aigu
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1
Tracer un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A} tel que \widehat{\text{ACB}}=25^{\circ}.
GeoGebra
2
Quelle est l'hypoténuse du triangle \text{ABC} ? La repasser en rouge.3
a) Nommer le sommet et les côtés de l'angle \widehat{\text{ACB}}.Bilan
Quel est le côté adjacent à l'angle \widehat{\text{ABC}} ?
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