Propriétés des triangles rectangles

Dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A}, \text{AC = 3~cm} et \widehat\text{ACB} = 35°.
Déterminer une valeur approchée de \text{BC} au millimètre près.

• On nomme le triangle rectangle et l'angle droit.
• On repère l'hypoténuse, puis l'angle connu ainsi que son côté adjacent.
• On écrit la formule du cosinus et on remplace les mesures connues avec les données de l'énoncé.
• On calcule la longueur en utilisant la proportionnalité (attention à l'arrondi).

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Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{A}, on a :
\begin{aligned} &\cos (\widehat{\mathrm{ACB}})=\frac{\text { longueur du côté adjacent à l'angle } \widehat{\mathrm{ACB}}}{\operatorname{longueur} \text { de l'hypoténuse }} \\ &\cos (\widehat{\mathrm{A{\color{#C62A58}C}B}})=\frac{\mathrm{A\color{#C62A58}C}}{\mathrm{B\color{#C62A58}C}} \\ &\cos (35)=\frac{3}{\mathrm{BC}}. \end{aligned}

On peut écrire \frac{\cos (35)}{1}=\frac{3}{\text{BC}} donc \mathrm{BC}=\frac{3 \times 1}{\cos (35)}.

À l'aide de la calculatrice, on trouve \text{BC} \approx 3,7~\text{cm}.
Donc \text{[BC]} mesure environ \text{3,7~cm} au millimètre près.

\text{RST} est un triangle rectangle en \text{R} tel que \text{RS = 5~cm} et \text{ST = 13~cm}. Calculer les mesures des angles du triangle (arrondies au degré près si nécessaire).

• On réalise un schéma pour s'aider si nécessaire.
• On repère l'angle aigu dont on connaît la longueur du côté adjacent.
• On écrit la formule du cosinus et on remplace les mesures connues avec les données de l'énoncé.
• On utilise la calculatrice pour déterminer la valeur de l'angle aigu.
• On utilise la propriété de la somme des mesures des angles d'un triangle pour trouver la valeur du dernier angle.

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\widehat\text{SRT} est un angle droit donc \widehat\text{SRT} = 90°.
Dans le triangle \text{RST} rectangle en \text{R}, on a :
\begin{aligned} &\cos (\widehat{\mathrm{RST}})=\frac{\text { longueur du côté adjacent à l'angle } \widehat{\mathrm{RST}}}{\text { longueur de l'hypoténuse }} \\ &\cos (\widehat{\mathrm{R{\color{#C62A58}S}T}})=\frac{\mathrm{R\color{#C62A58}S}}{\mathrm{T\color{#C62A58}S}} \\ &\cos (\widehat{\mathrm{RST}})=\frac{5}{13}. \end{aligned}
À l'aide de la calculatrice, on trouve \widehat\text{RST} \approx 67°.
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180° donc \widehat{\mathrm{RST}}+\widehat{\mathrm{SRT}}+\widehat{\mathrm{STR}}=180 soit 67+90+\widehat{\mathrm{STR}}=180 donc 157+\widehat{\mathrm{STR}}=180 et enfin \widehat{\mathrm{STR}} \approx 23^{\circ}.