Mathématiques 4e - 2022
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Algorithmique et programmation
Dossier Scratch
Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres relatifs
Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels
Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels
Ch. 4
Puissances
Ch. 5
Calcul littéral
Ch. 6
Résolution d'équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 7
Statistiques
Ch. 8
Probabilités
Ch. 9
Notion de fonctions
Ch. 10
Proportionnalité
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 11
Théorème de Thalès
Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles
Ch. 13
Géométrie plane
Ch. 14
Géométrie dans l'espace
Prolongement
Chapitre 12
Méthodes
Propriétés des triangles rectangles
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Calculer une longueur
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Énoncé
Soit \text{ABC} un triangle rectangle en \text{A} tel que \text{AB = 5~cm} et \text{BC = 13~cm}. Calculer la longueur \text{AC}.
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- On réalise une figure ou un schéma et on code l'angle droit.
- On cite le triangle et on précise qu'il est rectangle et en quel point.
- On repère l'hypoténuse.
- On applique le théorème de Pythagore.
- On remplace les valeurs connues.
- On utilise la touche \boxed{\sqrt{}} de la calculatrice et on arrondit la valeur obtenue si nécessaire.
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Solution
\text{ABC} est un triangle rectangle en \text{A}. D'après le théorème de Pythagore on a :
\begin{aligned} &\text{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ &13^{2}=5^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ &169=25+\mathrm{AC}^{2} \\ &\mathrm{AC}^2=169-25 \\ &\mathrm{AC}^2=144 \\ &\mathrm{AC}=\sqrt{144}=12,\text{ donc [AC] mesure 12~cm.} \end{aligned}
\begin{aligned} &\text{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ &13^{2}=5^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ &169=25+\mathrm{AC}^{2} \\ &\mathrm{AC}^2=169-25 \\ &\mathrm{AC}^2=144 \\ &\mathrm{AC}=\sqrt{144}=12,\text{ donc [AC] mesure 12~cm.} \end{aligned}
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Déterminer si un triangle est rectangle ou non
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Énoncé
Dans la figure suivante, les dimensions sont données en centimètre. Déterminer si les triangles \text{ABC} et \text{CDE} sont rectangles.
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- On commence par repérer le plus grand côté et on calcule le carré de sa longueur.
- On calcule la somme des carrés des deux autres longueurs.
- Si l'égalité de Pythagore est vérifiée, le triangle est rectangle. Sinon, il n'est pas rectangle.
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Solution
- Dans le triangle \text{ABC}, \text{[BC]} est le plus grand côté.
D'une part, \text{BC}^2 = 8^2 = 64. D'autre part, \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 4,8^2 + 6,4^2 = 64. Ainsi, \text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que \text{ABC} est rectangle en \text{A}. - Dans le triangle \text{CDE}, \text{[CD]} est le plus grand côté.
D'une part, \text{CD}^2 = 4,5^2 = 20,25. D'autre part, \text{CE}^2 + \text{ED}^2 = 4^2 + 2,2^2 = 20,84.
Puisque \text{CD}^2 \not = \text{CE}^2 + \text{ED}^2, on en déduit que \text{CDE} n'est pas un triangle rectangle.
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