Synthèse

Dans le triangle \text{ABC} suivant, la droite \text{(AH)} est la hauteur issue de \text{A}.

1. Calculer la longueur \text{AC} et en donner une valeur approchée au millimètre près.

2. Calculer la longueur \text{HB}.

3. Le triangle \text{ABC} est-il rectangle ?

Le triangle \text{ABC} représente une charpente et \text{[AH]} est une poutre verticale (donc \text{(AH)}\perp\text{(CB)}).

On a \text{AH = 5~m,} \text{AB = 8~m} et \widehat\text{ACH} = 48°. Tous les résultats seront arrondis au dixième près.

1. Déterminer la mesure de l'angle \widehat\text{HAB}.

2. Calculer la longueur \text{HB}.

3. a. Calculer la mesure de l'angle \widehat\text{HBA} puis en déduire la mesure de l'angle \widehat\text{BAC} et finalement celle de l'angle \widehat\text{HAC}.

b. Calculer les longueurs \text{AC} puis \text{CH.}

4. Calculer l'aire du triangle \text{ABC.}

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.

Affirmation 1 : Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d'un mur à \text{1 mètre} au-dessus du sol pour construire une étagère \text{ABC} : \text{AB = 65~cm,} \text{AC = 72~cm} et \text{BC = 97~cm.} Il réfléchit quelques minutes et assure que l'étagère possède un angle droit.

Affirmation 2 : Les normes de construction imposent que la pente d'un toit représentée ici par l'angle \widehat\text{CAH} doit avoir une mesure comprise entre 30° et 35°. Une coupe du toit est représentée sur la figure suivante : \text{AC = 6~m} et \text{AH = 5~m.} \text{H} est le milieu de \text{[AB].} Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.

L'escargot de Pythagore est une figure constituée de triangles rectangles placés les uns à la suite des autres de la façon suivante :

1. Calculer la valeur exacte de la longueur \text{AH.}

2. Au bout d'un certain temps, le triangle \text{ABC} finit pas être recouvert par un nouveau triangle. Quelles sont les dimensions du premier triangle à recouvrir partiellement le triangle \text{ABC} ?

1. a. Montrer que \text{(AH)} est la médiatrice de \text{[BC].}

b. En déduire que \text{AHB} est un triangle rectangle.

2. a. Déterminer la mesure de l'angle \widehat\text{HBA}.

b. Calculer le cosinus de l'angle \widehat\text{HBA}.

c. En déduire la valeur exacte de \text{cos(60°).}

3. On se place dans le triangle \text{AHB.} a. Déterminer la mesure de l'angle \widehat\text{HAB}.

b. Calculer le cosinus de l'angle \widehat\text{HAB}.

c. En déduire la valeur exacte de \text{cos(30°).}